巧用“1”解不等式

黄亦达●

湖北省武汉二中(430071)



巧用“1”解不等式

黄亦达●

湖北省武汉二中(430071)

高中数学不等式具有较多的知识难点，学生在学习过程中，会遇到各种题型，有时会面临无从下手的困难，笔者在学习不等式过程中，通过分析和归纳，对部分基本不等式的题型解答和训练进行系统编辑，以供参考.

中学数学；不等式

不等式在数学研究和数学应用中起着重要作用，高中数学大纲要求会用基本不等式解决简单的不等式问题.由于基本不等式既具有定性功能，又具有定理功能，还具有工具性的作用，应用面非常广泛，涉及高中数学各分支内容，因此在每年高考试卷中出现频率特高，可以说是每年高考的必考点.但是同学们利用基本不等式解题时，对部分题型已知条件中出现“1”情况如何进行代换，应用上还存在困惑.本文结合常见问题进行了分析和解答，希望能帮助同学们理解和掌握相关的知识.

分析 为对(x+y)配式，根据“1”乘以任何一个式子大小不变，可将“1”整体代换，从而凑出定积的条件.

当且仅当y2a=x2b时取等号.

针对练习 已知a>0,b>0,c>0，且a+b+c=1.

分析 为对左式进行变换，可将各分式的分子中的1用a+b+c来代换.

证明 ∵a>0,b>0,c>0，且a+b+c=1.

根据不等式性质，得

分析 为了挖掘出定积的情况，根据“1”乘以任何一个式子大小不变，利用代换法，变换所求式子，可得到定积条件.

解答：∵a>0,b>0，且a+2b=1,

例3 已知a>0,b>0,c>0，且abc=1.求证：(a+1)(b+1)(c+1)≥8.

分析 左边是3个因式的乘积，右边是数字，结合已知条件abc=1，如果能将左边转化为abc的乘积，根据1的n次方仍是1，问题就能解决.

∵abc=1.∴(a+1)(b+1)(c+1)≥8.

当且仅当a=b=c=1时等号成立.

[1]《普通高中课程标准实验教科书(数学)》

[2]汪江松.重难点手册[M],华中师范大学出版社.

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1008-0333(2016)28-0012-01