例谈两类“相切”问题的求解

童永奇●

陕西省西安市临潼区马额中学(710609)



例谈两类“相切”问题的求解

童永奇●

陕西省西安市临潼区马额中学(710609)

本文拟通过归类举例的形式，着重说明：借助导数的几何意义，可以顺利探求与曲线“相切”的一些常考的数学问题.

类型一、直线与曲线“相切”问题

解题理论1 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0).

1.根据直线与曲线相切，求参数的值

例1 (2016年高考数学全国Ⅱ卷理科第16题)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=____________.

于是，由①②得

故b=lnx1+1=1-ln2.

(方法二)设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2相切于点(x1,y1)，则

设直线y=kx+b与曲线y=ln(x+1)相切于点(x2,y2)，则

于是，根据③④可得b-1=1-k+b，化简得k=2，将之代入①即得b=1-ln2.

评注 一般地，遇到直线与曲线相切，往往需要设出切点的坐标，或根据切线方程来解决(如方法一)，或根据题意列方程组加以灵活处理(如方法二).

2.根据直线与曲线相切，巧求含参函数的零点个数

例2 已知a>1，试讨论函数f(x)=ax-x(a>1)的零点个数.

解析 先分析直线y=x与曲线y=ax(a>1)相切时，参数a的取值.

因为切点在直线y=x上，所以可设切点坐标为(x0,x0).

由y=ax求导得y′=axlna，所以根据切线方程为y=x即得ax0lna=1. (*)

接下来，再结合图形分析.

评注 上述求解的关键是先分析临界情形，再灵活运用指数函数的图像规律加以思考.

3.根据直线与曲线相切，巧求参数的取值范围

例3 (2016年西安八校联考(三)理科第12题)函数f(x)=lnx-ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是( )

当x>e时，t′(x)<0.所以函数t(x)在(0,e)上递增，在(e,+)上递减.

又易知：当x→0时，t(x)→-；当x→+时，t(x)→1.

据此可画出函数t(x)的图像(如图1)，让直线y=ax绕着坐标原点旋转分析即知：为满足题意，需要0

图1

接下来，具体分析直线与曲线相切情形.

令s(x)=2lnx+x-1，则因为易知函数s(x)在t(x)在(0,+)上递增，且s(1)=0，所以方程2lnx+x-1=0有唯一实数根x=1.从而，可知x0=1，所以kOP=t′(1)=1.

综上，由(**)知所求0

类型二、曲线与曲线“相切”问题

1.根据曲线与曲线相切，巧求函数的取值范围

例4 【同例3】(2016年西安八校联考(三)理科第12题)函数f(x)=lnx-ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是( )

解析 由题设得方程f(x)=0，即ax2=lnx+x有两个不相等的实数根.于是，原问题可化归为当曲线y=ax2与y=lnx+x有两个交点时，求实数a的取值范围.先分析曲线y=ax2与y=lnx+x相切时，参数a的取值.

图2

令s(x)=2lnx+x-1，则因为易知函数s(x)在t(x)在(0,+)上递增，且s(1)=0，所以方程2lnx+x-1=0有唯一实数根x=1.从而，可知x0=1，进而可得a=1.

接下来，再结合图形分析.

根据二次函数的图像规律“二次项系数的绝对值越大，则开口越小”，可知：为满足题意，需要0

评注 上述求解的关键是先分析临界情形，再灵活运用二次函数的图像规律加以思考.

2.根据曲线与曲线相切，巧求参数的值

(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间和最小值；

(Ⅱ)若函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像在交点处存在公共切线，求实数a的值.

评注 本题第一问比较简单，难点在于第二问，如何求解方程组(*)——这里采取的方法是：先消去实数a，借助(Ⅰ)的解析过程得到x0的值，再根据其中的一个方程求a的值.

综上，多关注直线与曲线“相切”，或曲线与曲线“相切”在解题中的灵活运用，可帮助我们巧妙分析、解决一些相关的数学问题，从而不断积累解题经验，逐步提升解题技能.

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1008-0333(2016)28-0004-02