双分数Vasicek利率下重置期权定价

薛 红，董莹莹

(西安工程大学理学院，陕西 西安 710048)



双分数Vasicek利率下重置期权定价

薛 红，董莹莹

(西安工程大学理学院，陕西 西安 710048)

假定股票价格满足双分数布朗运动驱动的随机微分方程，利率满足双分数Vasicek利率模型，根据双分数布朗运动随机分析理论及保险精算方法，讨论了重置期权的定价问题，建立相应的金融市场模型并获得了双分数Vasicek利率下重置期权定价公式.

双分数布朗运动；Vasicek利率；保险精算；重置期权

重置期权是现代金融市场中广泛应用的一种新型期权[1],其敲定价格可以按照一定的规则作出调整,以便使持有者拥有更多的获利机会，深受投资者喜爱重视.文献[2-5]是在常数利率下对重置期权进行研究得到的结果.但大量实证研究表明，在实际金融市场中，利率具有均值回复的特征，长期利率的波动会小于短期利率的波动，在利率水平较高时，其波动也较大.文献[6]假设股票价格满足布朗运动，利率满足扩展的Vasicek模型，运用鞅理论及Gisanov定理，获得了重置看涨期权的定价公式.文献[7]假设股票价格满足布朗运动，利率满足Vasicek模型，借助多元正态分布函数与无套利理论，得到了重置期权的一组显示定价公式和近似计算方法.文献[8]假设股票价格遵循几何布朗运动，利率满足Vasicek模型，利用偏微分方程方法，获得了重置期权的定价公式.近几年，不少学者提出了双分数布朗运动，文献[9-12]给出了双分数布朗运动的定义、性质及其在期权定价中的应用.文献[13-17]是随机利率下几种金融衍生产品的定价.本文是在股票价格服从双分数布朗运动、利率满足Vasicek模型、建立双分数布朗运动环境下的金融市场数学模型，利用保险精算方法推导出重置期权的定价公式.

1 金融市场数学模型

考虑如下模型(A):利率rt和股票价格St分别满足如下随机微分方程：

(1)

(2)

(3)

(4)

引理3 {St,t≥0}在[t,T]上的期望回报率满足βu=μ,u∈[t,T].

证明 由引理2可知

由定义2可得

再由

2 随机Vasicek利率下重置期权定价

定理1 标准欧式看涨期权在t时刻保险精算价格为

证明 由定义3得

综上，定理得证.

定义5 重置看涨期权在t(t

定理2 用CRS(t,T1,T)表示重置看涨期权在时刻t的价格，重置时间为T1的重置看涨期权在时刻t的保险精算定价为

1)当t∈[T1,T]时，CRS(t,T1,T)=C(t,T,Y)I{ST1≥Y}+C(t,T,ST1)I{ST1

2)当t∈[0,T1]时，有

证明 1)当T1≤t≤T时，根据定理1易得结论.

由引理1，引理2和引理3可知，

再由A∩B={η1-η2>d1,η2+η4d3,η2+η4>d2},

合并上述Π1,Π2,Π3,Π4的计算式即证定理2.

注1 1)当K=1时，可得分数布朗运动环境下重置期权定价公式(见文献[5])；

2)当T1=T时，可得双分数布朗运动环境下标准欧式看涨期权的保险精算定价公式(见定理1).

3 结 论

本文将重置期权定价理论作了进一步的推广.由于双分数布朗运动是一种比分数布朗运动更一般的高斯过程，它不仅无独立增量性，也不具有平稳增量性，即双分数布朗运动可以描述分数布朗运动描述不了的股价变化非平稳的情形，所以双分数布朗运动较之于几何布朗运动和分数布朗运动能更好地描述股票价格的波动；而且随机Vasicek利率较常数利率更贴近实际的金融市场环境.故本文在双分数Vasicek利率下对重置期权进行研究得到的定价公式更具有实际意义，同时丰富了重置期权定价研究的理论.

[1] JOHN C H. Options, futures and other derivative securities[M]. New Jersey: Prentice Hall,1992.

[2] CHENG W Y, ZHANG S G. The analytics of reset options[J]. The Journal of Derivatives,2000,8(1):59-71.

[3] GRAY S F, WHALEY R E. Valuing S & P500 bear market warrants with a periodic reset[J]. The Journal of Derivatives,1997,5(1):99-106.

[4] GRAY S F, WHALEY R E. Reset put options:valuation,risk characteristics and an application[J]. Australian Journal of Management,1999,24(1):1-20.

[5] 张学莲，薛红.分数布朗运动环境下重置期权定价模型[J].西安工程大学学报，2009，23(4)：141-145.

[6] 李淑锦，李胜宏.随机利率下奇异期权的定价公式[J].数学学报，2008，51(2)：299-310.

[7] 王莉君，张曙光.随机利率下重置期权的定价问题[J].高校应用数学学报，2002，17(4)：471-478.

[8] 朱海燕，张寄洲.随机利率下两类重置期权的定价公式[J].上海师范大学学报(自然科学版)，2008，37(5)：447-453.

[9] RUSSO F, TUDOR C A. On bifractional Brownian motion[J]. Stochastic Processes and Their Applications,2006,116(5):830-856.

[10] 肖炜麟，张卫国，徐维东.双分式布朗运动下股本权证的定价[J].系统工程学报，2013，28(3)：348-354.

[11] YAN L T, XIANG J. The generalized quadratic covariation for a bi-fractional Brownian motion[J]. Journal of Natural Science of Heilongjiang University,2011,28(5):587-603.

[12] 荆卉婷，龚天杉，牛娴，等.混合双分数布朗运动驱动的信用风险模型[J].黑龙江大学自然科学学报，2012，29(5)：586-601.

[13] 薛红，李军，吴晓蕊.随机利率下可转换债券定价[J].西安工程大学学报，2011，25(1)：119-121.

[14] BIRGE J R, LINETSKY V. Financial engineering[M]. Netherlands: Elsevier Science Publishing Company Press,2002:135-149.

[15] 薛红，王媛媛.分数Vasicek利率下创新重置期权定价[J].纺织高校基础科学学报，2015，28(1)：62-71.

[16] 黄文礼，陶祥兴，李胜宏.分数维Vasicek利率模型下的欧式期权定价公式[J].数学学报，2012，55(2)：219-229.

[17] 何永红，薛红，王晓东.分数布朗运动环境下再装期权的保险精算定价[J].纺织高校基础科学学报，2012，25(3)：384-387.

Reset Option Pricing in Bi-fractional Vasicek Rate Environment

XUE Hong, DONG Yingying

(School of Science, Xi’an Polytechnic University, Xi’an 710048, China)

Assume that stock price follows the stochastic differential equation driven by bi-fractional Brownian motion, and interest rate satisfies Vasicek rate model which driven by bi-fractional Brownian motion, the pricing problem of reset option is discussed using the stochastic analysis theory of bi-fractional Brownian motion and the actuarial approach. The mathematical model of financial markets in the bi-fractional Vasicek rate environment is established. The pricing formula of reset option in bi-fractional Vasicek rate environment is obtained.

bi-fractional Brownian motion; Vasicek rate model; actuarial approach; reset option

2016-03-08

陕西省自然科学基金项目(2016JM1031)；陕西省自然科学基础研究计划资助项目(2015JM1034)；西安工程大学研究生创新基金项目(CX201613)；陕西省教育厅专项科研基金项目(14JK1299).

薛 红(1964—),男,教授,博士,主要从事随机分析及金融工程等研究.E-mial:xuehonghong@sohu.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.06.016

O211 MSC2010: 91G20; 91G30; 91G80

A

1674-232X(2016)06-0650-06