“月—地检验”之前

周分工

“月-地检验”是牛顿发现万有引力定律的事实依据，是“距离平方反比规律”推广的前提.为完成“检验”，牛顿时代需要知道：地球表面的落体加速度 ，地球自身的半径 ，月地距离 ，月球公转的周期 .对这些数据，高中教科书一句话带过“在牛顿时代，已经能够比较精确地测定这些数据……”.学生不仅要问：历史上这些数据是如何测量的呢？另外，教师不了解这些，教学过程中往往会缺乏底气，甚至逻辑顺序颠倒.笔者查阅资料，力图对这些测量作一介绍.

1 地球半径R的测量

公元前3世纪古希腊天文学家厄拉多塞内斯（Eratosthenes）首次测出了地球的半径 .他发现：夏至这一天，当太阳直射到赛伊城的水井S时，在另一城（亚历山大城，用A表示）观察到太阳光与竖直方向的夹角θ=7.2°，如图1所示.太阳离两城足够远，可认为太阳光是平行的，由同位角相等知：两城间的弧所对的圆心角SOA也是7.2°.又知：商队旅行时测得S、A间的距离约为5000古希腊里.然后进行如下推算：圆心角360°所对的圆弧长为2πR，所以1°所对的圆弧长为2πR360，那么n°所对的圆弧长l=2πR360n=πR180n，得R=180lπn，代入l=5000古希腊里，n=7.2，算出R=39808古希腊里.现在一般认为1古希腊里约为158.5米，那么他测得地球的半径为39808×158.5米，约为6310千米.

2 月地距离r的测量

测出地球半径，为测量月地距离奠定了基础，公元前3世纪古希腊天文学家阿利斯塔克（Aristarchus）测定了地球到月球的距离.

首先，他发现太阳底下的圆形物体会形成圆形的阴影，如图2，且离物体越远，阴影越小，直至缩成一个点，测量发现：物体下方本影区的高度为物体直径的108倍.

同样，地球在太阳底下也会形成本影区，如图3中的ODEF所示，且本影区的长度DO也为地球直径de的108，即EO=108d；月球进入这个本影区，便是月食现象.观察月食发现：月球从D点进入本影区开始月食，到F点离开本影区结束月食，DF的长度为月球直径dm的2.5倍，即

DF=2.5dm.

另外，月球运动到太阳与地球之间时，也会形成本影区，如图3中的ABC所示，地球上的人进入这个本影区，便会观察到日全食现象.但发现日全食通常只能在地球上一块非常小的区域才能看到，这说明：月球的本影区到地球上几乎缩成了一个点.

可认为，三角形DFO与三角形ABC相似，其中DFO的高为DO-r=108dc-r，ABC的高为r-dc2，由三角形相似规律：高的比等于底边长的比，即

108de-rr-de2=DFAB=2.5dmdm

解得r=30.5de，即月地间的距离约为地球直径的30倍，或者说月地间的距离约为地球自身半径的60倍.

3 月球公转周期T的测量

天文学上把月亮的圆缺变化，称为月相变化.远古时代人们已经注意到了月相的变化，并记录了月相更替的周期，为29.53天，也是阴历一个月的时间，但这个时间还不能算作月球公转的周期.

如图4，在位置1，月球被照亮的部分，能够全部被人们观察到，这是所说的“满月”状态，同样在位置3， 也是“满月”状态，从位置1到位置3，便是一个月相更替周期，29.53天.由图4还可看出，从位置1到位置2的时间内，月球已经绕地球公转了一圈，这才是月球公转的周期.

图4中的角α，为月球绕地球一周之后又多转的角度，可以写成ω×29.53-2π，其中ω为月球公转的角速度，可用公转的周期T表示为：ω=2πT，即

α=2πT×29.53-2π

图4中的角β，为29.53天内地球公转的角度，可以写成ω′×29.53，其中ω′为地球公转的角速度，可用公转的周期365天表示为：

ω′=2π365 ，

即 β=2π365×29.53

显然α=β，可算得：T=27.31天，即月球公转的周期为27.31天.

4 落体加速度g的测量

牛顿之前的伽利略对落体运动的规律研究的已经相当完美，加之牛顿对动力学的研究，可以猜测：牛顿时代已经能够知道g值的大小，但是笔者没有查阅到：它是由谁最先测出的？又是如何测出的？倒是查阅到1784年利用阿特伍德机比较精确的测量了重力加速，但这已经是万有引力“发现”之后相当长的时间了.

结语：本文陈述了R、r、T、g这是四个量的测定过程，展现了古人思考问题的巧妙与严谨，借以说明人们对自然现象的不断思考和对未知世界的不倦探索，是物理学发展的原动力.