一道电源输出功率变化问题的七种解法

张洪明

题目 （2014浙江东阳市高三模拟第15题）

两电源电动势分别为E1，E2（E1>E2），内阻分别为r1，r2.当这两个电源分别和一个阻值为R的电阻连接时，电源输出功率相等.若将R增大到R′，电源输出功率为P1，P2则

A.r1P2

C.r1>r2，P1r2，P1>P2

分析 由题目已知条件可得

I0=E1R+r1=E2R+r2 （1）

即E1E2=R+r1R+r2>1r1>r2， 所以答案在C，D中选择，当R增大到R′时，

I1=E1R′+r1，I2=E2R′+r2.因此，不能直接判断出I1与I2的大小关系，所以不好选择了.

解 比值比较法

令P1=（E1R′+r1）2×R′，P2=（E2R′+r2）2×R′ （2）

则P1P2=（E1E2）2（R′+r2R′+r1）2=（E1E2）2（1+r2-r1R′+r1）2，

令y=1+r2-r1x+r1，当x=R时，y=1；r2-r1<0（3）

此函数为增函数（由y=kx，k>0减函数，k<0为增函数推出）

所以，当R′>R时，P1P2>1，即P1>P2，答案选择D， 同理可以推出R′

点评 此方法是根据题目中的问题是比较功率大小，所以回忆起数学中常用的比较方法有比值比较法，此方法利用了数学中函数的函数知识（增函数与减函数），根据初始时P1=P2时的结论进行演算推理，其中判断函数的增减性是关键性步骤.

解2 差值比较法

P1-P2=（E1R′+r1）2×R′-（E2R′+r2）2×R′ （4）

由（1）、（2）、（4）式可得

P1-P2=E21R′（RR′+r1R′+r2R+r1r2）2-E21R′（RR′+r2R′+r1R+r1r2）2[（R′+r1）（R′+r2）（R+r1）]

（5）

r1>r2，R′>R

由（r1-r2）R′>（r1-r2）R，

即RR′+r1R′+r2R+r1r2>RR′+r2R′+r1R+r1r2 （6）

由（5）、（6）式可得P1-P2>0P1>P2， 结论同上.

点评 此方法也是比较法中常用的差值比较法，此方法中进行的推理计算过程比较复杂，然后根据已知条件联系到比较的表达式进行变化是此方法的难点，此方法思路简单清晰计算复杂.

解3 导数的几何意义法

函数的一阶导数表示函数在这点切线的斜率，因此如果函数f（x）的一阶导数大于零，则f（x）为增函数，如果函数f（x）的一阶导数小于零，则f（x）为减函数，如果函数f（x）的一阶导数等于零，则f（x）有极值.

令R=x，由（1）、（2）式子得

f（x）=p1P2=（E1E2）2（x+r2x+r1）2 （7）

对（7）式自变量x求一阶导数得

f ′（x）=p1P2=（E1E2）2（r1-r2）（x=r1）2 （8）

因为r1-r2>0，所以f ′（x）>0，函数为增函数.

当x=R时（7）式等于1，所以x=R′>R时（7）式p1P2>1P1>P2，结论同上.

点评 利用此方法需要两个数学基础，一是要知道函数某一点导数的几何意义即表示某一点切线的斜率；二是要熟练掌握求导函数的相应数学公式和求导法则.此方法比较巧妙的将数学的导数与增减函数应用到解决物理实际问题当中，是应用数学知识解决物理问题的典范.

解4 画曲为直法

由闭合电路欧姆定律I=ER+r可知I与R非线性变化，两侧同时取倒数有

1I=RE+rE （9）

由（9）式可得当R′=R+ΔR（ΔR>0）时，对两个电源分别应用（9）式有

1I1=R+ΔRE1+r1E1=ΔRE1+R+r1E1

1I2=R+ΔRE2+r2E2=ΔRE2+R+r1E2 （10）

由（1）、（10）和E1>E2可以推出I1>I2， 此时P1=I21× R′>P2=I22×R′.

即P1>P2，结论同上.

点评 此方法十分巧妙的利用了题目中的初始条件，将本来无法直接判断的曲线问题转化为直线问题来解决，画曲线为直线的方法是解决物理问题中经常使用的方法.特别是设后来的电阻R′+R+ΔR（Δ>0） 将本来无法比较的问题变得十分容易比较.

解5 U-I图象法

根据闭合电路欧姆定律E=U+Ir变形可以得

U=-rI+E （15）

将U看成I的函数可知是线性变化关系，图象的斜率的绝对值代表内阻，图象的截距代表电源电动势.而外电阻满足U=IR在同一个坐标系中将两个函数同时画出来，由（15）式可知得U=-r1I+E1，U=-r2I+E2，U=IR，满足P1=P2初始条件点就是两个函数的交点状态，外电阻的大小由U=RI直线的斜率来表示，根据题意后来电阻R′>R与两个电源的交点就分别代表了此时的状态，由图1直接可以看出后来电流关系为I1>I2，路端电压关系为U1>U2，则关系P1=U1I1>P2=U2I2，即当R′>R时，有P1>P2，结论同上.

点评 此方法是将教材中熟悉的知识（测电源电动势与内阻试验数据处理知识）迁移到具体的情景之中，用此方法需要对U=-rI+E对应的U-I图象的物理意义掌握的十分清楚，对于图象中的外电阻U=RI 在同一图象中构建出来是解决问题的关键步骤.同时对于图象中的电源内阻是斜率的绝对值要掌握，外电阻消耗的功率就是矩形的面积.

解6 功率图象法

由P=（ER+r）2R=E2R+r2/R+2r

（11）

是高中常见的电源输出功率公式对应函数关系为

f（x）=E2x+r2/x+2r

当x=r时，电源输出电功率最大为P=E2/4r，对应的函数图象为图2所示.要满足初始条件功率相等也就是函数

P1=E21R+r21/R+2r1P2=E22R+r22/R+2r2 （12）

对应两个函数有交点，同时由于r1>r2所限制，所以两条曲线相交的交点只能存在三种可能就是如图3所示A，B，C三个点，无论哪种情况，在取R'>R时总有P1>P2结论同上.

点评 此方法是从我们熟悉的电源输出功率问题进行讨论，要知道电源输出功率最大时，就是当外电阻（外电路是纯电阻）等于电源内阻时，同时要知道函数图象的变化趋势，从极限分析可以知当R=0时，电源电路输出功率等于零（相当于短路），R=+∞时，输出功率也是零（相当于断路），当外电阻等于电源内阻时，有最大值.这样变化趋势图自然就画出来了，同时两曲线有一个交点（R>0时），结论就一目了然了.

解7 电流图象法

由（1）式可得当功率相等时外电阻的阻值为

R=E2r1-E1r2E1-E2 （13）

令E1=4V，E2=3V，r1=2Ω，r2=1Ω，

代入（13）式可以得到 R=2Ω

由闭合电路欧姆定律 I=ER+r （14）

可知I与R非线性关系，代入以上数据可以得到 i1=E1R+r1=1A

同理 I2=E2R+r2=1 A

当R=1Ω和R=3Ω分别代入（14）式计算得到对应的电流值分别为I1′=0.8A，I1″=1.33A，

I2′=0.75A， I2″=1.5A.

根据以上数据定性画出电流随电阻变化趋势图（图4），从图象分析可知，当R′>R时I1>I2总有P1>P2 结论同上.

点评 此方法属于特殊值检测法，实际上所取得电阻的初始值满足题目中要求，然后通过定量计算来分析那个答案是最可能的，由于学生知道反比例函数的图象是减函数，所以结合题目条件可以选择特定的点来作图解决问题，体现的是作图法与特殊值相互结合来解决物理问题.