含有杂质的液体压强分析

潘龙

液体压强的计算公式为p=pgh.其中ρ为液体密度，h为液体的深度，g为常量.在h一定时，p与ρ成正比.目前在实际分析含有不溶解杂质的液体压强问题中，时常将ρ理解为“平均密度”.

例如，在人教版物理《配套练习册》八年级下册第39页有这样一道习题：

题目：工程师们为什么要把拦河坝设计成下宽上窄的形状？在洪水季节，河水的含沙量增大时，河水对拦河坝的压强将如何变化？

给出的参考答案是：因为水的压强随深度的增加而增大，所以河水越深，对坝底的压强越大，较宽的坝底能承受住较大的压强：在洪水季节，河水的含沙量增大，河水的密度增大，对坝底的压强增大.

泥沙都是不溶杂质，河水本身就流经泥沙表面，泥沙增多对澄清溶液溶质质量分数的影响微乎其微.本题在分析有含沙的水的压强中，就是将泥沙与水的“平均密度”等同于“液体密度”，所以“液体密度增大了”.这也是目前教师向学生讲授时的普遍思路.但洪水中的泥沙在液体中并不是静止状态，在静水中是要下沉的.运动状态对液体压强是否有影响？

本文将讨论液体含有静态杂质、动态杂质时对液体压强的影响.以便理清“液体密度”和“平均密度”能否替代.

1 问题的分析

为研究方便起见，假设液体所在容器是规则的圆柱体，液体体积和杂质体积均不变.既液面高度都保持一致.液体重力为G液，杂质重力为G杂.如图1所示，阴影部分为液体，圆圈内代表杂质.

1.1 忽略水的阻力，且杂质与液体密度相等

此时杂质受到等大的浮力F浮与G，悬浮在液体中，液体也受到来自杂质的大小等于F浮的F′的反作用力.因此，容器底部受到的压力F压=G液+F′=G液+G排=ρShg=G

既液体对容器底部压力等效于底面积为S，深为h的纯水的重力G.

p=F压S=ρShgs=ρgh

物体受到与不含杂质时液体压强相等.

1.2 杂质密度大于液体密度

如图3所示，杂质密度大于液体密度时，杂质将下降.杂质所受浮力F浮=G排，液体受到的向下的反作用力大小也为F浮；杂质还受到液体的粘滞阻力F阻，液体受到向下的反作用力大小也为F阻；对于液体而言，对容器底部的压力为

F压=G液+F浮+F阻

随着物体下落速度逐渐增加，F阻由零开始增加，容器对底部的压强也逐渐增大.当液体足够深时，最终F浮+F阻=G杂，杂质匀速下降，液体对容器底部压力达到最大.

F压=G液+F浮+F阻=G液+G杂

液体对容器底部的压强p也达到最大，即

p=F压S=G液+G杂S=ρ均VgS=ρ均ShgS=ρ均hg

ρ均为容器内液体和杂质的平均密度.因此压强是变化的，如果液体足够深，可以达到一个最大值稳定值，该值与液体和杂质的平均密度成正比.

1.3 杂质密度小于液体密度

如图4所示，当杂质密度小于液体密度时，液体浮力大于阻力，将上浮，此时粘滞阻力将向下，类似于第2种模型的分析，液体压力表达式为

F压=G液+F浮-F阻

可见随着上升速度逐渐增加，F阻由零开始增加，容器对底部的压强液也逐渐减小.当液体足够深时，最终F浮-F阻=G杂，杂质匀速上降，液体对容器底部压力达到最小.此时液体对容器底部的压力

F压=G液+F浮-F阻=G液+G杂

此时，液体对容器底部压强也达到最小，即

p=F压S=G液+G杂S=ρ均VgS=ρ均ShgS=ρ均hg

1.4 杂质被固定在液体内部

如图5所示，将杂质用硬杆固定在液体中某个位置，整个容器内的平均密度显然是随着杂质密度的改变而改变的，但此时杂质的作用仅仅相当于改变了液体的形状，在液体深度一定时，并不改变液体底部的压强.

2 简单验证

利用生活中简易的器材可以观察杂质下沉或上浮时液体底部压强的变化.将图5中的容器放在托盘上称，当向上加速拉动硬杆，会发现秤的示数明显减小，说明液体底部压强减小；当加速向下压硬杆，秤的示数明显增加，说明液体对容器底部的压强增加.而此时的“平均密度”并没有发生任何变化，由此说明“平均密度”并不是压强的决定因素.

3 结论

通过以上的分析和验证，可以看到，液体压强公式中的ρ应当是纯液体或者溶液的密度.当液体含有杂质时，其压强变化的直接原因是杂质与液体之间的作用力有变化，而并非是平均密度的变化.并且作用力的变化与杂质的运动状态变化紧密相连，因此液体压强也随杂质运动状态的变化而变化.通过平均密度进行等效计算，仅限于杂质与液体构成的系统中，除重力、容器对液体的支持力外无其他力的影响情况.以平均密度简单代替液体密度，显然是不合适的，还要考虑杂质的运动状态.简单代替还会割裂“压强”反映“力的作用效果”这一物理本质.