罗尔定理的推广及其应用

赵凌燕，李宝毅

（天津师范大学数学科学学院，天津300387）

罗尔定理的推广及其应用

赵凌燕，李宝毅

（天津师范大学数学科学学院，天津300387）

基于罗尔定理，研究2种函数零点个数上界的问题.对于第1种函数，利用导函数的性质确定了不含间断点的函数零点个数的上界，进而确定了含间断点的函数零点个数的上界.对于第2种函数，利用函数满足的微分方程的特征确定了函数零点个数的上界.

罗尔定理；零点个数；零点重数；间断点

罗尔定理反映了函数与导函数之间的内在联系，对函数零点个数的研究有重要意义.许多学者对罗尔定理的推广进行了研究，这些结果主要可分为2类：第1类为通过函数性质估计导数零点个数的下界；第2类为通过导数性质估计原函数零点个数的上界.第1类推广较为常见[1-4]，第2类推广相对较少[5-6]，而第2类推广对常微分方程极限环个数的研究具有重要意义[7-8].本研究考虑罗尔定理的第2类推广形式，得到2种函数零点个数的上界.本研究是在原有的罗尔定理推广上再次进行推广，对常微分方程极限环个数的确定有重要帮助.

下面的引理是本研究罗尔定理推广形式的基础.

引理1[6]设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续可导.

（1）若f(n)（x）存在且在开区间（a，b）内有k个零点（不计重数），则f（x）在闭区间[a，b]上最多有n+k个零点（不计重数）.

（2）若f(n)（x）存在且在开区间（a，b）内有k个零点（计重数），则f（x）在开区间（a，b）内最多有n+k个零点（计重数）.

推论 设函数f（x）是定义在闭区间[a，b]上的函数，f（x）在开区间（a，b）内有s个间断点，且f（x）在非间断点处连续可导.

（1）若f(n)（x）在开区间（a，b）内有k个零点（不计重数），则f（x）在闭区间[a，b]上除间断点外最多有（s+ 1）n+k个零点（不计重数）.

（2）若f(n)（x）在开区间（a，b）内有k个零点（计重数），则f（x）在开区间（a，b）内除间断点外最多有（s+ 1）n+k个零点（计重数）.

记P(n)（x）为关于x的n次多项式，deg0=-1，#f为函数f（x）的零点个数（计重数）.

1 罗尔定理的推广形式I

引理4 设a≠b，a∉Z，对于非负整数n、k，若0≤k≤n，则

其中：Ci，j，s是关于i、j与s的函数，Qi，j，s（x）=（P(k)（x））(i)·（x+a）n-k-j（x+b）n-k-s，deg（P(k)（x））(i)=k-i，degQi，j，s（x）=（k-i）+（n-k-j）+（n-k-s）=n.

记Q(n)（x）=Qi，j，s（x），则有

证明 设P(n)（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，an≠0.利用函数在x=a处的泰勒展开式以及引理4即可得结论成立.

#f≤（n0+1）+（k-1）（n1+1）+n1=k+n0+kn1

x的最高次幂指数是20 161，则函数f（x）零点个数不超过20 161.根据定理1，，k=2，n0=-1， n1=10，故f（x）的零点个数不超过21.

由该例可以看出，定理1可以大幅减小函数零点个数上界的估计值.

2 罗尔定理的推广形式II

（a）P（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导.

（b）A（x）与B（x）在闭区间[a，b]上连续，F（x，P）在[a，b]×[mp，Mp]上连续，其中[mp，Mp]是P（x）在[a，b]上的值域.

则有以下结论成立

（1）若A（x）与B（x）在开区间（a，b）内分别有u*（u*∈N）个和v*（v*∈N）个零点（不计重数），则函数

定理2 设系统P（x）在闭区间[a，b]上至多有u*+v*+1个零点（不计重数）.

（2）若A（x）与B（x）在开区间（a，b）内分别有u（u∈N）个和v（v∈N）个零点（计重数），则函数P（x）在开区间（a，b）内至多有u+v+1个零点（计重数）.

证明 （1）设P（x）在闭区间[a，b]上有k*个零点x*i（1≤i≤k*），且a≤x*1＜x*2＜…＜x*k*≤b.

当B（x*i+1）=0时，则结论显然成立.

当B（x*i+1）≠0且B（x*i）=0时，设x*i是B（x）=0的βi次重根，B（x）=（x-x*i）βiB*（x），则必有B*（x*i+0）· B（x*i+1）＜0，否则B*（x*i+0）B（x*i+1）＞0.由P′（x*i）=，可知P′（x*i+0）P′（x*i+1）＞0，由前述证明过程知P（x）在（x*i，x*i+1]内至少有1个零点，这与x*i、x*i+1是相邻2个零点矛盾.则B*（x*i+0）B（x*i+1）＜0，B（x）在（x*i，x*i+1]内至少有1个零点.

综上可知，P（x）的零点的个数k*与B（x）的零点个数v*满足：k*-1≤v*，即k*≤v*+1.

②若A（x）在闭区间[a，b]上有零点，下面证明A（x）或B（x）在（x*i，x*i+1]内至少有1个零点.

若A（x）在[x*i，x*i+1]上没有零点，则由前面讨论可知B（x）在（x*i，x*i+1]内至少有1个零点.

若A（x）在（x*i，x*i+1]内有零点，即存在c∈（x*i，x*i+1]，使得A（c）=0，结论显然成立.

若A（x*i）=0且A（x）在（x*i，x*i+1]内没有零点，则F（x*i，P）P（x*i）+B（x*i）=0，即B（x*i）=0，在（x*i-1，x*i]∪（x*i，x*i+1]上至少存在A（x）或B（x）的2个零点.

综上可知，A（x）、B（x）和P（x）的零点个数u*、v*

和k*满足k*≤u*+v*+1.

（2）设P（x）在（a，b）内有n个零点xi（1≤i≤n），且满足a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，其重数分别是k1，k2，…，kn，且k1+k2+…+kn=k.

在点xi（1≤i≤n）处，xi是P（x）的ki次重根.由 B（x）=F（x，P）P（x）-A（x）可知，xi是P（x）的至少ki-1次重根.下面证明A（x）或B（x）在（xi，xi+1）内至少有1个零点.

当A（x）在（xi，xi+1）内有零点时，结论显然成立.

当A（x）在（xi，xi+1）内没有零点且A（xi）=0时，由A（x）=F（x，P）P（x）+B（x），可知B（x）i=-F（xi，P（x）i）·P（xi），则xi是B（x）的至少ki次重根.此时可看作在（xi-1，xi）与（xi，xi+1）内共有A（x）和B（x）的2个零点.

当A（x）在[xi，xi+1]内没有零点时，不妨设A（x）＞0（x∈[xi，xi+1]）恒成立，则必有B（xi+0）B（xi+1-0）＜0.否则B（xi+0）B（xi+1-0）＞0，由

可知P′（xi+0）P′（xi+1-0）＞0，则有P′（xi+0）＞0，P′（xi+1-0）＞0或P′（xi+0）＜0，P′（xi+1-0）＜0.对这2种情况，由连续函数介值存在定理可知，在（xi，xi+1）内必存在P（x）的1个零点，与（xi，xi+1）内无零点矛盾.所以B（xi+ 0）B（xi+1-0）＜0，在（xi，xi+1）内存在B（x）的1个零点.

例2 考虑函数f（x）=A（x）eB(x)+C（x）的零点个数，其中：A（x）、B（x）和C（x）是关于x的多项式，由f′（x）=A′（x）eB(x)+A（x）eB(x)B′（x）+C′（x）得

根据定理2，f（x）零点个数不超过

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（责任编校 马新光）

Promotion of Rolle Theorem and it's application

ZHAO Lingyan，LI Baoyi
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

On the basis of Rolle Theorem，the upper bounds of numbers of zeros for two kinds of functions are studied.For the first kind，the upper bound of zeros for the functions without discontinuities is determined by using the properties of derived functions，and then the upper bound of zeros for the functions with discontinuities is given.For the second kind，the upper bound of zeros is determined by using the features of the differential equation for the functions.

Rolle Theorem；number of zeros；zero multiplicity；discontinuities

O175.1

A

1671-1114（2016）03-0006-04

2015-09-30

国家自然科学基金资助项目（11271046）；天津师范大学博士基金资助项目（52XB1414）.

赵凌燕（1993—），女，硕士研究生.

李宝毅（1963—），男，教授，主要从事常微分方程定性理论及其应用方面的研究.