一类多胞型不确定时变时滞系统的稳定性分析*

来存霞，覃立福

(河池学院 a.图书馆，b.计算机与信息工程学院，广西 宜州 546300)



一类多胞型不确定时变时滞系统的稳定性分析*

来存霞a，覃立福b

(河池学院 a.图书馆，b.计算机与信息工程学院，广西 宜州 546300)

文章分析了多胞型不确定时变时滞系统的鲁棒稳定性.通过建立适当的Lyapunov-Krasovii函数,得出适当的LMIs，在矩阵系统固定的情况下证明其渐近稳定性，并推广至系统矩阵满足多胞型不确定的情况下，给出鲁棒稳定性的充分条件.

多胞型；不确定时变时滞系统；线性矩阵不等式

1 系统描述

考虑如下多胞型不确定时变时滞系统

(1)

其中x(t)∈Rn为状态变量，矩阵A和Ad为适当维矩阵，d(t)为时变时滞，满足

0≤d(t)≤τ

(2)

(3)

并定义矩阵A和Ad属于如下多胞型不确定区域

(4)

2 时滞独立稳定性分析

为了讨论系统(1)的稳定性，其中系统(1)中时滞d(t)满足条件(2)和(3).首先在系统矩阵A和Ad固定的情况，即系统没有不确定的情况下，我们可以给出如下引理和定理.

引理1 ∀a,b∈Rn和X∈Rn×n,Z∈Rm×m,且X>0,Z>0,矩阵Y∈Rn×m，∀N∈Rn×m，

定理1 对于给定的τ>0和μ<1，系统(1)在A和Ad固定，以及时滞d(t)满足(2)和(3)的情况下是渐近稳定的，如果存在P>0，Q≥0，Z>0,X>0，以及矩阵Y，满足

(5)

(6)

其中 M=ATP+PA+Y+YT+Q+τX

证明：通过Leibniz-Newton定理可以推出等式

(7)

则系统(1)可变为

(8)

构造如下Lyapunov函数

(9)

沿着时间轨迹对(9)进行求导可得：

(10)

由引理1可得，

(11)

将(11)代入(10)整理可得，

τX)x(t)+xT(t)Qx(t)-(1-μ))xT(t-d(t))

(12)

令ξT(t)=[xT(t) xT(t-d(t))]，M=ATP+PA+Y+YT+Q+τX，则有

(13)

3 多胞型不确定时滞系统的 稳定性

以上是系统(1)在系统矩阵确定的情况，下面我们将这种方法引入到多胞型不确定系统中，可以得到如下定理.

定理2 对于给定的τ>0和μ<1，系统(1)在满足多胞型(4)，以及时滞d(t)满足(2)和(3)的情况下是鲁棒稳定的，如果存在P>0，Q≥0，Z>0,X>0，以及矩阵Y，满足

(14)

(15)

其中 M=A(i)TP+PA(i)+Y+YT+Q+τX

证明过程如定理1.

4 仿真举例

根据定理2中的充分条件，推导成一个凸优化问题，使用Matlab中的gevp求解器，可得到该系统的最大允许延迟时间，即可以归结为求以下线性矩阵不等式.

s.t.

ii)(14)

例1 考虑如下多胞型不确定时滞系统

通过4中的方法用Matlab求解,我们可以得出如下一组μ和τ的值.

表1 μ和τ的对照值

例2 考虑如下多胞型不确定时滞系统

并且|h|≤0.035.

令hm=0.035，则

通过4中的方法用Matlab求解可以得出如下一组μ和τ的值.

表2 μ和τ的对照值

从表1和表2中可以看出，本文得出的结果要优于文献[1]，说明文中给出鲁棒稳定性的充分条件的有效性.

5 结语

文章主要描述了一类简单的多胞型不确定时变时滞系统，通过建立适当的Lyapunov-Krasovii函数,得出适当的LMIs，在矩阵系统固定的情况下证明其渐近稳定性，并推广至系统矩阵满足多胞型不确定的情况，得出多胞型不确定时变时滞系统鲁棒稳定性的充分条件.通过举例仿真，验证了结论的有效性，以便以后将此方法验证更复杂的多胞型不确定时变时滞系统.

[1]Yong He,Min Wu,Jin-Hua She,etc.Parameter-Dependent Lyapunov Functional for Stability of Time-Delay Systems With Polytopic-Type Uncertainties[J].IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL,2003(39):828.

[2]愈立.鲁棒控制——线性矩阵不等式处理方法[M].北京：清华大学出版社，2002.

[3]杜君花，堵秀凤，邢殿福.新的线性凸多面体不确定离散系统的鲁棒稳定条件[J].齐齐哈尔大学学报,2009(3)：52-55.

[责任编辑 苏 琴]

[责任校对 黄招扬]

Stability Analysis of a class of Polytopic Uncertain Systems with Multiple Time-varying Delay

LAI Cun-xiaa,QIN Li-fub

(a.Library,b.SchoolofComputerandInformationEngineering,HechiUniversity,Yizhou546300,China)

This paper discussed stability for a class of polytopic uncertain systems with multiple time-varying delay.Firstly,establish proper Lyapunov - Krasovii function,it is concluded that proper linear matrix inequalities,and then in the matrix system under the condition of fixed prove the asymptotic stability,and promote to the system of polytopic uncertain systems with multiple time-varying delay,the sufficient condition for robust stability is given.

polytopic-type; uncertain time-varying delay systems; LMI

2016-04-10.

来存霞(1981-)，女，山东济宁人，硕士，河池学院图书馆助理馆员，研究方向：最优控制理论及应用.

TP273

A

1673-8462(2016)03-0065-03