追寻既“通”且“融”的数学学习

许贻亮

【教学内容】北师大版五上第五单元“分数的意义”第63至64页。

【教学目标】

1. 进一步理解“一个整体”“平均分”的意义，初步了解“比1大的分数”，能从多种角度理解分数。

2. 在观察、思考、迁移、拓展等数学活动中，借助几何直观和生活事例，培养合情推理能力，积累数学活动经验，体会数形结合、变中不变的数学思想方法。

3. 增强数学与生活的联系，进一步树立学习数学的自信心。

【教学过程】

一、唤醒经验

思考：看到课题“分数的再认识”，有什么想法吗？（突出对“再认识”的思考：已认识什么？再认识什么）

【设计意图】“分数的再认识”一课是学生在三年级学习了“分数的初步认识”后对分数意义的再一次深入认识。要突出“再认识”，首先就要先明确“已认识了什么”。

二、多元建构

（一）认识“一个整体”

谈话（出示8个苹果）：如果把它们装在一个袋子中，叫做1袋苹果；如果把它们放在一个盘子里，叫1盘苹果；如果把它们装在一个篮子中，叫1篮苹果。数学上常用一个“圆”把它们圈起来，表示它们是“一个整体”。（板书）

对比：同样是这个人，怎么所占的分数会不一样？

拓展：还可以把什么看作“一个整体”？

（二）平分100万的遗产

事例：老人的100万遗产要分给4个子女，怎么分公平？（平均分成4份，各取1份）

冲突：是这样分吗？（出示：把支票4等分的图片）使学生的认知产生冲突（这样分的话，支票就作废了）

思考：怎样平均分？（先把支票换成等价的人民币再平均分）

（三）还能平均分吗

出示：马小跳的图片。

冲突：还能往下平均分吗？引发学生产生第2次的认知冲突——一个人怎么能再往下分呢？

【设计意图】通过“平分100万的遗产”和“往下分马小跳”，以通俗的事例，引发学生的认知冲突。在交流中，逐渐地让学生明白其中的事理，感悟其中的分法——“先换再分”和“想象地分”，从而较好地突破已有数学认知经验所形成的局限性。

（四）分数的“接龙”

活动1：数轴上的分数接龙。

观察：这一小段用分数几分之几表示？

拓展：再多1份呢？可以是多少份？

活动2：面积模型中的分数接龙。（图1）

【设计意图】教学中，借助鲜活的生活事例及几何直观，让学生感受从“不平均分”到“平均分”，从“实际地分”到“想象地分”，从“1以内的分数”到“1以外的分数”等，立足于整个单元的教学内容，把多元的素材融为一体，合力从抽象的角度、度量的意义、除法的意义等方面建构起学生关于分数的数学认知结构。在冲突中变通、在类比中强化、在思考中深入，从而在“学会”中进一步达成“会学”。

三、应用拓展

感悟：在单位“1”的数量不确定的情况下，谁取出的多并不能确定。

猜想：要猜中“终极密码”的答案，最多猜几次就行？

课前，让学生进行热身游戏——猜“终极密码”，即先在纸上写在一个自然数（1～100之间），让学生猜一猜写的是几？根据学生猜测的答案，给出正确答案的范围，再继续猜，直到猜中为止。活动中，把学生每次猜的数字都板书在黑板上，并统计出到猜中时的次数。如，猜第一个数“37”共用了11次，猜第二个数“82”共用了8次。这时，回首课前的活动，让学生展开思考：“要猜中终级密码，最多猜几次呢？”让学生展开猜想：11次、20次、99次等。

验证：借助面积模型的不断二等分，体会最多8次的道理。

第一个数先猜是不是50（对半），这时就把1～100分成了两个“阵营”，要么答案在1～50之间，要么答案在50～100之间，两种情况必居其一，最多剩50种不同情况；接着再对半猜，如果答案在1～50之间，就猜是不是25，这时就又把1～50分成了两个“阵营”，要么答案在1～25之间，要么答案在25～50之间，两种情况必居其一，最多剩25种情况；再对半地猜，最多剩13种情况……以此类推。这时借助正方形的面积模型（图2），以“数形结合”的方式，帮助学生建立方法模型。

【设计意图】教学中，安排了2个层次的应用对比。从“不同分数的取”到“相同分数的取”，丰富学生关于“分数”的认知。刚开始是不同分数的取球，因为对应箱子也有大有小，拓宽学生表达的空间，在交流中增进学生数学理性思维的培养；接着便是不同对象的同一分数的捐款，学生便直通知识内核“不一定”，并说明理由。最后，在再认识“终极密码”数学游戏中，从“不确定次数”到“可确定次数”，把“数”与“形”有机地结合起来。

四、回顾升华

回顾：这节课，我们关于“分数”有了哪些新的认识？

感悟：你觉得“分数”怎么样？

【设计意图】通过回顾和感悟，一方面进一步把零散的知识串起来形成一个有机整体——核心是“把谁平均分”。另一方面，对以往的“平均分”做一次理性的认知和飞跃：从分实物到分数量，到“先换再分”，到“想象地分”，到线段上的平均分以及平面图形中的多次平均分。在回顾中进一步感悟知识，在交流对分数的感觉时，增强学生对数学学习的喜爱和学好数学的信心。

（作者单位：福建省晋江市第二实验小学 责任编辑：王彬）