Palmer线性化定理的一个改进

申艳枫

(浙江师范大学 数理与信息工程学院，浙江 金华321004)



Palmer线性化定理的一个改进

申艳枫

(浙江师范大学 数理与信息工程学院，浙江 金华321004)

改进了Palmer线性化定理，减弱了原来Palmer线性化定理的条件.

部分指数型二分性；线性系统；拓扑等价

0 引 言

考虑非自治微分方程

(1)

我们假设

|U(t)U-1(s)|< kexp-α(t -s) (t ≥s)

(2)

(3)

这里k,α都是大于零的常数．

当线性部分具有指数型二分性时，已经有许多学者讨论了其线性化的问题[1-18].1973年,K.J.Palmer将Hartman定理推广到非自治系统[1-2]．此外，林发兴，史金麟教授等也研究了x′=A(t)x，y′=B(t)y部分具有指数型二分性条件下线性化定理[3-9]，但是史金麟教授只讨论了

(4)

当y′=B(t)y没有线性项时的线性化．所以本文讨论

(5)

其中y′=B(t)y有线性项g(t，x)时的线性化．

1 主要定理

定理1 设(2)，(3)式成立，又设对任意x1，x2∈n1，y1，y2∈n2，t∈有

(6)

(7)

(8)

(9)

这里μ，γ，M是大于零的常数，若

2kγ<α

(10)

(11)

的解．

(ⅱ)当x→∞，H(t，x)→∞一致的成立．

(ⅲ)设H-1(t，·)=G(t，·)，则v→∞,G(t，v)→∞一致地成立．

(ⅳ)设u(t)是系统(1)的解，则H(t，u(t))是系统(9)的解，v(t)是系统(9)的解，则G(t，v(t))是系统(1)的解．

定理的证明关键是构造同胚函数．首先证明一些引理．

引理1 对任意固定的(τ，ζ，η)，系统

Z′=A(t)Z-f(t,X(t,τ,ζ,η),Y(t,τ,ζ,η))

(12)

有惟一有界解h(t，(τ，ξ，η)，且|h(t，(τ，ξ，η))|≤kμα-1.

证明 对任意给定的(τ，ξ，η)取

直接微分上式易证Z0(t)是(10)的一个解．利用条件(2)，(4)可得

所以Z0(t)是(10)的有界解．由于对于给定的(τ，ξ，η)，系统(10)是线性非齐次系统．线性部分Z′=A(t)Z由于具有指数型二分性，所以除零解以外没有其他有界解．因此(10)的有界解是惟一的．这个有界解自然与(τ，ξ，η)有关，因此可记为h(t，(γ，ξ，η))，且|h(t，(γ，ξ，η))|≤kμα-1，证毕．

Z′=A(t)Z+f(t,x1(t)+Z,y1(t))-f(t,x1(t)+Z,y1(t))

(13)

有惟一的有界解Z=0．

证明 显然Z=0是系统(12)的一个有界解．现在证明有界解的惟一性．设Z1(t)是系统(12)的一个有界解，则

同引理1的推理可得

又根据条件(2)，(6)，(8)可得

从而可得Z1(t)=0．证毕．

证明 设

我们可以证明

(14)

(15)

(16)

又由(12)，(14)可得

现在引进函数

H1(t,x,y)=x+h(t,(t,x,y))

(17)

(18)

(19)

(20)

证明 由于用(t，X1(t，τ，ξ，η)，Y1(t，τ，ξ，η))代替系统(10)中的(τ，ξ，η)，系统(10)不会发生任何变化，

所以有

h(t,(t,X1(t,τ,ξ,η),Y1(t,τ,ξ,η)))=h(t,t0,x10,y10)

H1=(t,(t,X1(t,t0,x10,y10),X2(t,t0,x10,y10))=X1(t,t0,x10,y10)+h(t,(t0,x10,y10)))

H2(t,X1(t,t0,x10,y10),X2(t,t0,x10,y10))=X2(t,t0,x10,y10)+

上式左端记为H1(t)，微分上式得

H1(t)′=A(t)X1(t,t0,x10,y10)+f(t,X1(t,t0,x10,y10),Y1(t,t0,x10,y10))+

A(t)h(t,(t0,x10,y10))-f(t,X1(t,t0,x10,y10),X2(t,t0,x10,y10))=A(t)H1(t)

H2(t)′=B(t)Y2(t,t0,x10,y10)+g(t,X1(t,t0,x10,y10))+

证明

(t,Y1(t,t0,y10,y20),Y2(t,t0,y10,y20)),G2(t,Y1(t,t0,y10,y20),Y2(t,t0,y10,y20))))ds

将上式左端记为G1(t)，微分上式得

Y2(t,t0,y10,y20)),G2(t,Y1(t,t0,y10,y20),Y2(t,t0,y10,y20))))ds+

f(t,(t,G1(t,Y1(t,t0,y10,y20),Y2(t,t0,y10,y20)),G2(t,Y1(t,t0,y10,y20),

Y2(t,t0,y10,y20))))ds=A(t)G1(t)+f(t,G1(t),G2(t))

G2=(t,Y1(t,t0,y10,y20),Y2(t,t0,y10,y20))=Y2(t,t0,y10,y20)-

将上式左端记为G2(t)，微分上式得

Y2(t,t0,y10,y20)))ds+g(t,(t,G1(t,Y1(t,t0,y10,y20),Y2(t,t0,y10,y20)))=

B(t)G2(t)+g(t,G1(t))

引理5 对于任意y1∈n1,y2∈n2,t∈恒有

是系统(1)的一个解．又由引理(4)

所以J(t)是Z′=A(t)Z的一个解．由引理3可得

|J(t)|=|H1(t,G1(t,y1(t),y2(t)),G2(t,y1(t),y2(t)))-y1(t)|≤

|H1(t,G1(t,y1(t),y2(t)),G2(t,y1(t),y2(t)))-G1(t,y1(t),y2(t))|+

|G1(t,y1(t),y2(t))-y1(t)|≤2kμα-1+2kμα-1=4kμα-1

此外

H2(t,G1(t,y1(t),y2(t)),G2(t,y1(t),y2(t)))-y2(t)=G2(t,y1(t),y2(t))+

所以H2(t，G1(t，y1(t)，y2(t))，G2(t，y1(t)，y2(t)))=y2(t)，综上引理得证．

引理6 对于任意x1∈n1,x2∈n2，t∈恒有

是系统(9)的一个解．又由引理(5)

另外

G2(t,H1(t,x1(t),x2(t)),H2(t,x1(t),x2(t)))-x2(t)=H2(t,x1(t),x2(t))-

所以G2(t，H1(t，x1(t)，x2(t))，H2(t，x1(t),x2(t)))=x2(t)，综上引理得证．

所以J(t)是Z′=A(t)Z的一个解．由引理3可得

|J(t)|=|H1(t,G1(t,y1(t),y2(t)),G2(t,y1(t),y2(t)))-y1(t)|≤

|H1(t,G1(t,y1(t),y2(t)),G2(t,y1(t),y2(t)))-G1(t,y1(t),y2(t))|+

|G1(t,y1(t),y2(t))-y1(t)|≤2kμα-1+2kμα-1=4kμα-1

此外

H2(t,G1(t,y1(t),y2(t)),G2(t,y1(t),y2(t)))-y2(t)=G2(t,y1(t),y2(t))+

所以H2(t，G1(t，y1(t)，y2(t))，G2(t，y1(t)，y2(t)))=y2(t)，综上引理得证．

验证(ⅰ)由引理5与引理6可推知，对任意固定的t，H(t，·)是双射，且H-1(t，·)=G(t，·)．

验证(ⅱ)由引理1和引理3得|H1(t，x)-x|=|h(t，(t，x))|≤kα-1μ．所以当x→∞时H1(t，x)→∞与H2(t，x)→∞，且均关于t是一致的，所以H(t，x)是一致连续函数．

验证(ⅲ)由引理1和引理3得，当y→∞时G1(t，y)→∞与G2(t，y)→∞,且均关于t是一致的．所以G(t，y)是一致连续函数．

验证(ⅳ)由引理4和引理5立得．

由上所述，系统(1)拓扑等价于(9)，定义证毕．

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[责任编辑：王军]

The improvement of Palmer linearization theorem

SHEN Yanfeng

(School of Mathematics and Information Engineering,Zhejiang Normal University,Jinhua 321004,China)

This paper improved the Palmer linearization theorem. We reduced the conditions in Palmer linearization theorem to more conservative conditions.

exponential dichotomy; linear system; topological equivalence

2016-03-17

浙江省自然科学基金(LY15A010022)资助项目

申艳枫(1991—)，女，河北承德人，浙江师范大学硕士生，主要从事常微分方程与动力系统的研究.

O241

A

1672-3600(2016)12-0016-06