基于MDADT方法的离散切换系统L2增益分析

刘玉忠, 王嘉慧

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)



基于MDADT方法的离散切换系统L2增益分析

刘玉忠, 王嘉慧

(沈阳师范大学 数学与系统科学学院, 沈阳 110034)

主要研究一类离散时间的线性切换系统的稳定性和L2增益问题,将应用一种模式依赖平均驻留时间(MDADT)的方法来分析这类离散时间线性切换系统的L2增益属性。模式依赖平均驻留时间是指在系统每个切换模式下都有自己的平均驻留时间,这使得驻留时间与系统的模式相关。因此,旨在找到一个准确的可容许的切换信号下的MDADT值,使得整个系统是稳定的。利用多Lyapunov函数方法得到系统稳定及L2增益属性的充分条件,该条件是典型的线性矩阵不等式,可用LMIs直接来求解。MDADT方法的引入,使得驻留时间小于一般情况下的平均驻留时间,从而使得系统全局一致指数稳定的条件具有更少的保守性。

指数稳定; 模式依赖平均驻留时间; 离散线性切换系统;L2增益

0 引 言

切换系统是由一系列有限的子系统和一个切换规则构成,其切换规则决定哪一个子系统被激活。带有某种限制的切换信号可以看作稳定或镇定这类切换系统的一种有力的工具[1]。

在这些切换策略中,平均驻留时间(ADT)切换是较普遍也非常典型的一种,它保证了在有限时间内仅有限个切换,并且在任意2种连续的切换模式中切换所需的平均时间应不小于一个常量[2]。在近些年,ADT已经在文献[3-6]多次被用来分析很多切换性系统的稳定问题。

然而,ADT切换的特性是计算在2种相邻的不同切换中切换的平均时间,使之不小于一个正常数τa,文献[7]介绍的就是应用这种ADT切换来研究系统的稳定性。由于平均驻留时间依赖于2种独立模式切换的子系统类Lyapunov函数的增长率和Lyapunov函数的衰变率,从而产生了一定的保守性。为了更好的解决这一问题,文献[8]中介绍了一种新的模式依赖平均驻留时间(MDADT),使得ADT的保守性大幅度降低。

尽管利用MDADT方法分析这种切换系统的稳定已经有了一些研究[8-9],但如何应用MDADT方法来解决离散时间切换系统的L2增益问题仍然并不多见,这也促使了本文的研究。

1 问题描述

考虑如下的离散线性切换系统:

(1)

其中:x(t)∈Rn和Z(t)∈Rm分别表示状态变量和控制输出;w(t)∈L2[0,∞)是扰动输入;σ(t)是切换信号,在有限集合S={1,…,M}中取值,M是子系统个数。在切换序列0

记号:Rn表示n维欧氏空间,P>0(≥0)表示P是正定实对称矩阵(半正定)。

定义1 对切换信号σ(t),t2≥t1≥0,设Nσ(t1,t2)表示在区间(t1,t2)上的切换次数,若存在正数N0和τa,使Nσ(t1,t2)≤N0+(t2-t1)/τa成立,则τa叫做平均驻留时间。

定义3 对切换信号σ(t),∀T≥t≥0,设Nσp(T,t)表示在区间[t,T]上第p个子系统被激活的切换次数,Tp(T,t)表示在区间[t,T]上第P个子系统的运行时间,其中p∈S,如果存在正数Nop和τap使得Nσp(T,t)≤Nop+Tp(T,t)/τap∀T≥t>0,可以称σ(t)有模式依赖平均驻留时间(MDADT)τap,称Nop为模式依赖振动界。

引理 考虑线性切换系统(1),令γ>0,0<λ<1,μ≥1。如果存在矩阵Pp>0,∀(p,q)∈S×S,p≠q,使得

(2)

(3)

则满足ADT

(4)

的任意切换信号下,系统有L2增益属性,且当w(t)=0时全局一致指数稳定。

证明 对于系统(1),定义Lyapunov函数如下:

(5)

这里Pp为正定矩阵且满足式(2)、式(3)条件,则由式(1)、式(2)、式(5)和Schur补引理可得到

对于∀T>0,令t0=0,t1,t2,…ti,ti+1,…表示区间[0,T]上的切换时刻,则通过上式可得

(6)

令L(t)=γ2wT(t)w(t)-ZT(t)Z(t),另一方面,可由式(3)和式(5)得到

则由式(6)可知

然后,结合定义1和上式可得到

假设系统(1)零扰动输入,并且对于∀j∈[t0,T),L(j)=0,于是由上式得

于是可得到结论,如果ADT满足条件(4),当T→∞时,Vσ(t)(t)趋近于零,因此系统全局一致指数稳定。

接下来分析系统(1)的L2增益属性,在零初始状态下,可以得到

(7)

对式(7)两边同时乘以eα·(tk-1-t0),得

由定义2可以断定,当系统(1)在任意切换信号下带有式(4)条件的ADT且满足条件式(2),式(3)时有L2增益属性,并且是全局一致指数稳定的。

2 主要结果

定理 考虑线性切换系统(1),令γ>0,0<λp<1,μp≥1,p∈S。如果存在矩阵Pp>0,∀(p,q)∈S×S,p≠q,使得

(8)

(9)

则满足MDADT

(10)

的任意切换信号下,系统有L2增益属性且当w(t)=0时全局一致指数稳定。

证明 定义Lyapunov函数如下:

(11)

这里Pp为正定矩阵且满足式(8)、式(9)条件,则由式(1)、式(8)、式(11)和引理,可直接得到

(12)

类似于引理,可由式(9)和式(11)以及上式得到

然后,结合定义3和上式可得到

假设系统(1)零扰动输入,并且对于∀j∈[t0,T),F(j)=0,于是由上式得

(13)

于是可得到结论,如果MDADT满足条件(10),当T→∞时,Vσ(t)(t)趋近于零,系统渐近稳定。

接下来,分析系统(1)的L2增益属性,在零初始状态下,结合式(13)和引理可以得到

由定义2可以断定,当系统(1)在任意切换信号下带有式(10)条件的MDADT且满足条件式(8)、式(9)时有L2增益属性,并且是全局一致指数稳定的。

3 结 论

本文讨论了一类离散时间线性切换系统的L2增益问题,通过应用MDADT切换的方法进行研究,所提出的MDADT切换使得驻留时间与系统的模式相关,比ADT切换具有更少的保守性。最后通过结合多Lyapunov函数和MDADT的方法,给出离散时间切换系统全局一致指数稳定且具有L2增益的充分条件。

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An MDADT-Based approach forL2-gain analysis of discrete-time switched systems

LIUYuzhong,WANGJiahui

(College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

In this article, we study the stability and theL2gain analysis problem for a class of discrete-time switched linear systems. A mode-dependent average dwell time (MDADT) approach is applied to analyze theL2gain performance for these discrete-time switched linear systems. The proposed switching law is the average dwell time (ADT) switching in that each mode in the underlying system has its own ADT. Therefore, in this article, we aim at finding a more general MDADT such that a set of admissible switched signals can be found and the underlying system is stable. Taking advantage of multiple Lyapunov functional method, a sufficient condition is obtained to guarantee the globally uniformly exponentially stable (GUES) with theL2gain performance for the underlying systems. The condition is a typical linear matrix inequality, we can use LMIs to solve it; because MDADT is less than the commonly average time, a less conservative result is presented with this approach.

exponential stability; mode-dependent average dwell time; discrete-time switched system;L2gain

2016-07-06。

国家自然科学基金资助项目(11201313)。

刘玉忠(1963-),男,辽宁新宾人,沈阳师范大学教授,博士。

1673-5862(2016)04-0409-04

TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2016.04.006