密切接触的非赫兹接触应力

楼 易，刘鹄然

(浙江科技学院 机械与汽车工程学院，杭州 310023)



密切接触的非赫兹接触应力

楼 易，刘鹄然

(浙江科技学院 机械与汽车工程学院，杭州 310023)

由于赫兹接触理论只适用于两曲面曲率不同的情形，当两曲面曲率相同时公式无效，必须采用新的方法。针对密切接触曲面，提出密切接触下的接触应力计算方法。首先把密切曲面展开成四阶级数的形式，然后利用契贝谢夫正交多项式转换成契贝谢夫级数的形式。根据接触应力与接触位移的对应关系，求出接触应力的分布规律，确定接触区宽度等对应参数。 又针对具体的椭圆形密切接触曲面，举例计算了接触应力的分布函数，用计算机图形曲线描述了压力分布的规律，探讨了密切接触区的形成机制和载荷性能。

弹性；密切接触； 接触应力；非赫兹应力

20世纪机械领域两大划时代学术成就是赫兹应力和雷诺动压润滑[1-2]。以往文献一般研究已有相互接触的曲面应力，较少考虑改变接触面本身，即只研究给定形状下的接触应力[3-5]。本研究探讨了密切曲面的接触应力计算问题,证明了这种方法创立的曲面在接触应力和接触强度上的优越性。

1 契贝谢夫正交多项式

契贝谢夫正交多项式是多项式中的一种，可用作计算平面接触应力，类似于数学中的傅里叶级数。零阶、一阶、二阶直到四阶的契贝谢夫正交多项式依次为：T0(t)=1，T1(t)=t2，T2(t)=2t2-1,T3(t)=4t3-3t,T4(t)=8t4-8t2+1。

2 密切接触曲面的构造

如果

Ri=0.5DW,

(1)

式(1)中:Ri为密切接触轴承的滚珠半径;DW为滚道的直径。要让曲率半径相等，则滚珠的半径要等于滚道直径的一半，此时无法用赫兹接触公式来计算，必须用密切接触曲面来分析。

设相接触表面是一个4次抛物线

y=k2x2+k4x4,

(2)

式(2)中 :k2、k4为4次抛物线的系数。设l为接触区宽度，在四阶接触的情况下必有k2=0， 令曲线方程无量纲化：

(3)

压力分布p(t)用契贝谢夫多项式表示，由于

(4)

式(4)中:a0～a4为压力展开的契贝谢夫正交多项式的系数。

当t=±1时， 1-t2=0。 故：

又因为T2(t)-T1(1)=2(t2-1)，T4(t)-T4(1)=(8t4-8t2+1)-(8-8+1)=8t2(t2-1)，故有：

(1-t2)p(t)=2a2(1-t2)+8a4t2(1-t2)，

(5)

(6)

换回实际有量纲的量：

(7)

式(7)是本研究最核心的公式。后面的参数确定、举例计算、图形绘制和结论分析都围绕该公式。但式(7)只是一个通用公式，反映应力变化规律，还涉及一系列参数，所以要先确定这些参数，并代入具体数字后才能描绘出来。

总压力要通过对式(7)的积分来求得：

(8)

式(8)中的2个积分可分别计算，前1个积分：

所以总压力

(9)

(10)

如果知道外力F和弹性系数θ，由式(10)求l，代回到式(7)就求得压力分布规律。

(11)

式(11)中的k4要根据实际接触的曲面形状来确定，即根据实际曲面展开式的四阶系数来确定，k4将在3.1中求解。由于相接触的是2个曲面，还要考虑两曲面四阶系数的差值。

3 滚珠与椭圆滚道接触的非赫兹应力计算

以上只是推导，为了说明清楚，现以圆与椭圆的接触为例。

3.1 滚珠的圆形截面的四阶展开

为求式(11)中的k4，要根据实际接触的曲面形状来确定。分别求两实际曲面展开式的四阶系数。由于相接触的是2个曲面，还要考虑两曲面四阶系数的差值，即通常称四阶诱导曲率。

由麦克劳林展开公式，任何曲线在原点可展为：

(12)

圆的方程：

(13)

当x=0时，

y0=R。

对式(13)求导：

(14)

由式(13)和式(14)得

yy′=-x。

(15)

在原点x=0处，

(16)

对式(15)再求导：

y′2+yy″=-1。

(17)

在原点x=0处，

(18)

对式(17)再求导：

2y′y″+y′y″+yy‴=0。

(19)

在原点x=0处，

y‴0=0。

(20)

对式(19)再求导：

3y″2+4y′y‴+yy(4)=0。

在原点x=0处，

(21)

把式(16)的一阶导数、式(18)的二阶导数、式(20)的三阶导数、式(21)的四阶导数值都代入式(12)(不考虑常数项)得：

2017年11月，在滴滴成为ofo大股东后被派驻到ofo担任高管的付强等人，全部被戴威“请”走了。一个被媒体反复描述的场景是，戴威冲着电话那头的付强怒吼：“滴滴的人都给我离开ofo！”

(22)

式(22)中：上角标(1)代表滚珠。

滚珠直径取6.350 1 mm，比较式(22)与式(2)的系数可得：

(23)

式(23)即圆的四阶展开式的系数。

3.2 椭圆形滚道的四阶展开

椭圆滚道的展开如图1所示。同时，为了用t代替式(2)中的x，η代替式(2)中的y， 式(2)所表示的按有量纲坐标的曲线变成按无量纲的曲线，曲线的变化形式如图2所示，未来接触区的宽度在-1和1之间，而不是-a和a之间，曲线更陡了，反映了曲线的基准坐标改变后的坐标变换对曲线形式的影响。

图1 按有量纲的实际四阶曲线Fig.1 Real four-order curve with dimension

图2 坐标变换后按无量纲的理论四阶曲线Fig.2 Theoritical four-order curve without dimension after transformation

椭圆的方程为：

(24)

由式(24)可得:

(25)

对式(25)求导：

(26)

(27)

对式(27)式求导：

(28)

在原点x=0处，

对式(28)求导：

-2y′y″-y′y″-yy‴=0，

(29)

在原点x=0处，

y‴0=0。

对式(29)求导：

3y″2+4y′y‴+yy(4)=0。

在原点x=0处，

设椭圆在长半轴处的展开式：

(30)

式(30)中：上角标(2)代表椭圆。

两个曲面的差曲面

(31)

由式(31)可知，圆与椭圆实现密切接触,两曲面四阶展开式的系数差(诱导系数)

图3 密切包裹时情况Fig.3 Situation of close contact

圆和椭圆都展开了，相应的系数就有了。因二阶系数相等，相互抵消，所以无法用赫兹公式。它们之间的包裹情形如图3所示，在且仅在接触点曲率相等，过了接触点两曲线逐渐分开。这反映了椭圆滚道滚动轴承中滚珠与滚道直接接触的实际接触状况，可以大大改善接触负载。

4 选取材料进行计算

内圈滚道和钢球的材料均选取为锻钢，借用常用的接触系数ZE=189.8 MPa来求弹性系数，其量纲为MPa。设 E1，E2是弹性模量，μ1，μ2,为泊松比是无量纲的。则：E1=E2=206 GPa，μ1=μ2=0.3。

因为

故

θ=1.77×10-5。

图4 接触应力分布曲线Fig.4 Curve of contact stress contribution

式(8)中，F、θ、k4均已求出，因此,可以画出接触应力分布曲线(图4)。与二阶接触的接触应力不同的是，最大接触应力不在正中，而是在旁边，有两个极值关于y轴对称。两个极值大小相等。

5 密切接触与非密切接触的比较

假定F、θ不变，改变曲面参数，比较二阶接触(k2不为0)、普通四阶接触(k2、k4均不为0)、四阶密切接触(k2等于0)时接触应力最大值与接触区的差别。

二阶接触时最大压强：

普通四阶接触带宽度：

普通四阶接触时的最大压强:

pmax=2θ-1(k2+k4la2)l=0.84×103(MPa)。

6 结 语

通过以上计算可以得出，用改变接触体的接触表面形状来改善接触状况是可行的，密切接触面的应力要用非赫兹接触应力的方法来计算，可以使密切接触体的接触面积比以往高副的接触面积大大增加。密切接触体的接触面的接触应力比以往的常规接触曲面大为减少。课题组在研究中曾解决了如何使高副达到密切接触的问题[6]，本研究解决了密切高副的接触应力计算问题，为下一步解决密切高副的润滑等其他问题打下了基础。

[1] KOMORI T, ARGA Y, NAGATA S,et al. A new gears profile having zero relative curvature at many contact points(logix tooth profile)[J].Journal of Mechenical Design,1990, 112(3): 430.

[2] KOMORI T. A new gear profile of relative curvature being zero at contact points[C]∥Proceeding of International Conference on gearing. Beijing :CMCC,1988: 230-236.

[3] FENG X Y,WANG A Q, LEE L. Study on the design principle of the Logix gear tooth profile and the selection of its inherent basic parameters[J].International Journal of Advanced Manufacture Technology,2004, 24(11):789.

[4] FENG X Y, WANG A Q, LEE L ,et al. Study for the forming principle of Logix gear tooth profile and its mesh performance [J].厦门大学学报(自然科学版),2002,41(增刊1):91.

[5] DOONER D B. On the three laws of gearing [J]. Journal of Mechanical Design, 2002, 124(4):733.

[6] LIU H R.The extreme efficiency of the new model in milling of complicated surfaces[J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2013, 67(9)：2765.

Contact stress of non-Hertz in close contact

LOU Yi, LIU Huran

(School of Mechanical and Automotive Engineering, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou 310023, China)

Hertz contact theory can be applied to the cases when the two curvatures are different. Thus if the curvatures of the contact surfaces are identical, the formula is invalid. For the close contact surface, the contact stress calculation method under close contact is proposed. First, the close surface is expanded into the form of fourth-order series, and then converted into the Chebyshev series by the Chebyshev orthogonal polynomial. According to the correspondence between the contact stress and the contact displacement, the contact stress distribution law is determined, and the corresponding parameters such as contact width are determined. The distribution function of contact stress is calculated by the close contact between ellipse and circular surface. The distribution of pressure distribution is described by computer graphics curve. The forming mechanism and load performance of close contact area are discussed.

elasticity; close contact; contact stress; non-Hertz stress

10.3969/j.issn.1671-8798.2016.05.003

2016-02-23

清华大学摩擦学国家重点实验室开放基金项目( SKLTKF14A06)；华中科技大学数字制造装备与技术国家重点实验室开放课题(DMETKF2015016)

楼 易(1959— )， 男，浙江省杭州人，副教授，硕士，主要从事机械原理、材料等研究。

TH123.4;TH133.33

A

1671-8798(2016)05-0350-07