固支压电叠层梁的精确解

高 菊， 关 群， 杨益飞

(合肥工业大学 土木与水利工程学院，安徽 合肥 230009)



固支压电叠层梁的精确解

高 菊， 关 群， 杨益飞

(合肥工业大学 土木与水利工程学院，安徽 合肥 230009)

从压电材料的本构方程出发，结合弹性材料的本构方程、运动方程和梯度方程，引入状态空间法，通过矩阵推导与计算，建立相应的状态方程，由压电材料单层梁的状态方程推导出压电叠层梁的状态方程，结合压电叠层固支梁相应的力学和电学边界条件，求解出状态传递矩阵。

压电材料；状态空间法；固支梁；叠层

0 引 言

智能材料在大型结构与工程的安全和发展领域展现出良好的应用前景,特别是大型结构的健康监测和诊断[1-2],在土木工程中,压电智能材料在结构监测、控制及智能调节等方面都发挥较大作用[3]。在众多结构中,由于压电智能材料构成的叠层构件是常用的构件之一,需要对不同压电叠层材料在不同支撑和受力情况下的力学性能进行研究,以便于寻求更精确、便捷、快速的求解方法,为结构设计和制造提供理论基础。

1 压电材料的本构方程

压电效应反映了晶体弹性和介电性之间的耦合[4-6]。材料极化后为横观各向同性,按平面应力问题考虑,此时相应的本构方程[7]为

(1)

(2)

其中,{T}、{S}、{E}、{D}分别为应力、应变、电场强度、电位移;[c]、[e]、[ε]分别为平面应力下的刚度矩阵、压电应力矩阵、介电矩阵。

2 固支压电叠层梁的状态方程

图1所示为压电叠层梁示意图,两端固支,长度为a,高度为h,共有p层,每层都是各向同性材料,从上到下每层依次编号为1,2,…,p-1,p。

图1 压电叠层梁示意图

(3)其中

(4)

在(3)式中,令z=hj,得

(5)

(5)式其实是第j层上表面和下表面物理量通过矩阵Gj(hj)联系起来,(3)式对任一层都成立。当计算第1层和第2层时,即j=1, 2,分别得

(6)

(7)

其中,R1(h1)是第1层下表面6个力学量与电学量;R2(0)是第2层上表面6个力学量与电学量。有一层间应力和位移连续条件,这2组物理量应相等,得

(8)

考虑上述连续条件,将(6)式代入(7)式,得

(9)

同理,对于第j层,同样有连续条件,即

(10)

依次重复(9)式的推导过程,直到p最底层。最终能够把整个叠层梁上表面和下表面物理量通过传递矩阵联系起来,得

(11)

令

(12)

其中,R1(0)即为初始值;N为六阶常元素矩阵。将(12)式写成显式,有

梁在两端固支,此时可假定在边界x=0,a上分别受分布压力P(0)(z)、P(a)(z)作用(相当于边界固支条件)[9],如图2所示。

由图2可得

(14)

(15)

其中,常数A1、A2、B1、B2为线性函数在薄层端点的函数值,它们是由固支边界条件确定,可以求得。只要薄层足够薄,有理由认为作用在薄层边界上的反力沿z方向是线性分布的,由边界条件确定。

图2 固支单层梁边界放大图

相应力学边界条件为

(16)

而对于压电材料,还需要考虑电学边界条件。当梁上下表面处于闭路时,有

(17)

对于受到均布荷载q的静力问题,将(16)式和(17)式代入(13)式,则相应的状态方程变为

(18)

(18)式是6个代数方程,5个未知量为Zm(0)、Xm(0)、Xm(h)、Dm(0)、Dm(h),现取第1、4、5行组成新的方程组,经过简单运算变形得

(19)

(19)式有2个未知数,3个方程。可将Xm(0)、Dzm(0)解出,便可得到初始值R(0)。当初始值求得后,代入(18)式,并令j=1,则第1层力学量可求。当第1层下表面力学量求出后,又可作为第2层的初始值,第2层力学量可求。依次方法重复,整个叠层梁可解。

3 数值算例

对于压电材料固支梁叠层梁进行数值计算[10],结构选取为固支叠层梁,材料自上而下依次为PZT-4/BaTiO3/PZT-4,梁高为0.1m,每层高度为0.02m、0.06m、0.02m,宽度为0.1m。在梁上表面施加10Pa的均布压强,梁长度取0.8m,计算相应的力学与电学状态变量。

表1所列为弹性压电材料叠层梁在算例条件下应力与位移计算结果,并将Matlab编程计算结果与Ansys有限元计算结果进行对比。

表1 压电叠层梁位移、应力及电势结果

4 结 论

(1) 本文基本理论推导引入状态空间法,由于未将状态方程的解表达成迈克劳林级数的形式,不存在因级数截断而造成的基本方程之间的不相容问题,对于智能压电叠层梁能给出精确解。

(2) 对于弹性压电材料单层梁和弹性压电材料叠层梁,在短路条件下,不同跨高比时,本文推导公式求得的电势值与FEM模拟结果十分接近。

(3) 无论是单层梁还是叠层梁,电势最大处均在跨中h/2处,而且最大电势值均随着跨高比的减小而增加。

(4) 在考虑不同高跨比的情况下,本文方法计算结果与FEM模拟结果的误差也在允许范围之内,因此,本文对于固支梁边界条件假定准确。

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2016-04-12；修改日期：2016-04-26

高 菊(1989-)，女，安徽阜阳人，合肥工业大学硕士生；

关 群(1962-)，女，江苏扬州人，博士，合肥工业大学教授．

TU311.1

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1673-5781(2016)03-0289-03