Hilbert K-模上的广义对偶框架
2016-12-09董芳芳
董芳芳
(天水师范学院 数学与统计学院,甘肃 天水 741001)
Hilbert K-模上的广义对偶框架
董芳芳
(天水师范学院 数学与统计学院,甘肃 天水 741001)
引入了紧算子代数模(简称Hilbert K-模)上广义框架的广义框架变换,广义框架算子,广义典则对偶框架和广义交替对偶框架,应用泛函分析和算子代数的相关理论知识,研究了其性质,并得到了一些重要结论.
Hilbert K-模;诱导序列;广义框架算子;广义对偶框架
1 Hilbert K-模上的广义框架和广义框架变换
紧算子代数模(简称Hilbert K-模)是一种特殊的HilbertC∗-模,它的底代数K为作用在Hilbert空间上的全体紧算子组成的C∗-代数,当然I∉K D.Bakic和B.Guljas在文献[1]中证明了这种模一定存在特殊的标准正交基,其特殊点在于相同基向量的内积为K中的一个秩为1的自伴投影(见[1]),而Hil⁃bertC∗-模不一定存在标准正交基(见[2]).
由该模上框架的框架变换的引入方式,就联想到:对Hilbert K-模M和有限或可数生成的J个Hil⁃bert K-模Nj,j∈J,其中J为有限或可数生成的指标集,在M到Nj上引入有限或可数生成的J个算子序列:Aj:M→Nj,使得对任意的x∈M,
其中{xj.λ,λ∈Λ}为M的框架,{vj.λ,λ∈Λ}为Nj的标准正交基,则Aj为可伴算子,且
将{eξ,ξxj,λ,j∈J,λ∈Λ}称为算子序列{Aj,j∈J}的诱导系列.这样研究的对象就由K-模M上的元素序列{xλ,λ∈Λ}变成了算子序列{Aj,j∈J}.其中eξ,ξ∈K的定义为:对任意的η∈H,eξ,ξ(η)=(η,ξ)ξ,ξ∈H,且(H为Hilbert空间),同时,其中(·,·)指Hilbert空间中元素的内积.
文献[3]和[4]中对模和空间上广义框架的引入,但是这种引入方式更具有实际意义,诱导序列很巧妙地在框架和广义框架之间起到桥梁和纽带作用(见[5]).
定义1设M,Nj均为Hilbert K-模,Aj:M→Nj为可伴算子,称{Aj,j∈J}为M关于Nj的广义框架,若存在a>0,b>0,使得.若只有右半不等式成立,则称为广义Bessel序列;若a=b,则称为广义紧框架;若a=b=1,则称为广义正规紧框架.
定义2[3]称{Λj,j∈J}为M关于Nj的广义标准正交基,若,且
定义3设{Aj,j∈J}为M关于Nj的广义框架,{Λj,j∈J}为M关于Nj的广义标准正交基,引入算子Φ:M→M,使得对任意的x∈M,则 Φ为可伴算子,且,称 Φ 为 {Aj,j∈J}的广义框架变换.
由该定义可知:Φ为单射,那么Φ*就为满射,Φ*Φ就为双射,即Φ*Φ为可逆算子,且事实上,对任意的x∈M,
记S=Φ*Φ,则S为M上的可逆自伴的正算子,将S称为{Aj,j∈J}的广义框架算子.于是,{Aj,j∈J}为广义正规紧框架当且仅当{Aj,j∈J}为广义框架当且仅当存在a,b>0,使得
2 Hilbert K-模上的广义对偶框架
定理1设{Aj,j∈J}M关于Nj的广义框架,S为{Aj,j∈J}的广义框架算子,则{AjS-1,j∈J}等均为M关于Nj的广义框架.
2.1广义典则对偶框架
定义4设{Aj,j∈J}为Hilbert K-模M到Nj的广义框架,S为 {Aj,j∈J}的广义框架算子,称{AjS-1,j∈J}为{Aj,j∈J}的广义典则对偶框架.
一个广义框架的广义典则对偶框架是唯一的,其求法不难.
例1设{Λj,j∈J}为M关于Nj的广义标准正交基,取Aj={Λ1,Λ1,Λ2,Λ2,…,Λj,Λj,…},j∈J,J为可数或有限生成的指标集,则{Aj,j∈J}为M关于Nj的广义紧框架,且
即{Aj,j∈J}的广义上下框架界a=b=2,从而其广义框架变换S=2I,则,因此{A,jj∈J}的广义典则对偶框架为:
即{Aj,j∈J}不仅为广义紧框架,其广义框架变换S=3I,,从而{A,jj∈J}的广义典则对偶框架为:
定义5设{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均为Hilbert K-模M到Nj的广义框架,若对任意的x∈M,,即,则 称 {Bj,j∈J}为 {Aj,j∈J}的广义交替对偶框架.
例 2设 Aj={Λ1,Λ1,Λ2,Λ2,…,Λj,Λj,…},其中{Λj,j∈J}为M关于Nj的广义标准正交基,取
或Bj={0,Λ1,0,Λ2,…0,Λj…},则{Bj,j∈J}为{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架.事实上,
并且这样的{Bj,j∈J}有个,也说明了广义框架的广义交替对偶框架是不唯一的.类似地,设
或…,或则{Bj,j∈J}为{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架,且这样的{Bj,j∈J}有个.
如此推广下去,不难有:设
其中每组里有k-1个零算子,则{Bj,j∈J}为{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架,且这样的{Bj,j∈J}有个.
值得注意的是,{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架{Bj,j∈J}必须满足两个条件,首先是广义框架,其次还要满足,二者缺一不可.
例3设
即{Aj,j∈J}为广义正规紧框架.而对
因此{Bj,j∈J}不可能是广义框架,所以{Bj,j∈J}不是{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架.
2.2广义典则对偶框架和广义交替对偶框架的区别与联系
结论1同一个广义框架的广义典则对偶框架一定是广义交替对偶框架.
事实上,若{Aj,j∈J}为M到Nj的广义框架,则{AjS-1,j∈J}为它的广义典则对偶框架,又由于S是可逆自伴的正算子,从而,S-1S=SS-1=I,且
然而,广义交替对偶框架不一定是广义典则对偶 框 架.例 如 ,Bj={Λ1,0,Λ2,0,…,Λj,0,…}是Aj={Λ1,Λ1,Λ2,Λ2,…,Λj,Λj,…}的广义交替对偶框架,但不是广义典则对偶框架,因为Aj={Λ1,Λ1,Λ2,Λ2,…,Λj,Λj,…}的广义典则对偶框架是唯一的并且为
结论2广义交替对偶是互为广义交替对偶.即:若{Bj,j∈J}为{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架,则{Aj,j∈J}也为{Bj,j∈J}的广义交替对偶框架.
事实上,若{Bj,j∈J}为{Aj,j∈J}的广义交替对偶框架,则,从而,
当然,当 {Aj,j∈J}为广义正规紧框架时,{Aj,j∈J}的广义典则对偶框架和广义交替对偶框架均为它本身,(因为).
2.3互为广义交替对偶框架的广义框架变换之间的关系
设{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均为Hilbert K-模M到Nj的广义框架,其广义框架变换分别为Φ1和Φ2,则对任意的x∈M,
定理2设{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均为Hilbert K-模M到Nj的广义框架,其广义框架变换分别为Φ1和Φ2,则{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}为一对广义交替对偶框架当且仅当
事实上,由于{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}为一对广义交替对偶框架当且仅当当且仅当
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〔责任编辑高忠社〕
Generalized dual Frames in Hilbert K-Modules
Dong Fangfang
(School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu741001,China)
s:In this paper,the concepts of generalized frame transform,generalized frame operator,generalized canon⁃ical dual frame and generalized alternate dual frame of generalized frame in Hilbert K-modules are introduced and their properties are studied by applying some theories about function analysis and operator algebra.Finally,some im⁃portant results are obtained.
Hilbert K-module;induced sequence;generalized frames operator;generalized dual frame
O177.1
A
1671-1351(2016)05-0005-04
2016-06-28
董芳芳(1981-),女,甘肃天水人,天水师范学院数学与统计学院讲师,硕士.