森林火灾SIR模型及仿真模拟

尹楠

（南京晓庄学院商学院，南京211171）

森林火灾SIR模型及仿真模拟

尹楠

（南京晓庄学院商学院，南京211171）

文章借鉴传染病研究中的SIR模型，并结合森林火灾发生的特点，建立森林火灾SIR模型并对森林火灾燃烧扩散状态进行仿真模拟，根据模拟仿真结果及分析结论，得出了有效预防和控制森林火灾的手段。

SIR模型；森林火灾；仿真模拟

0　引言

SIR模型是传染病研究模型中最经典的模型，该模型中S表示易感者，I表示感染者，R表示移出者。利用该SIR模型，可以研究某种传染病的传播扩散机制，并建立数学模型去模拟其传播过程。而对于森林火灾的发生及扩散，类似于传染病传播过程，因此也可以应用SIR模型去进行分析。本文正是基于传染病的SIR模型，并结合森林火灾的发生特点，建立森林火灾SIR模型，并进行模型的仿真模拟实现过程。利用该火灾模型，可以对森林火灾发生的状态进行预测，并有效预防和控制森林火灾的发生或蔓延。

1　森林火灾SIR模型的建立

1.1森林火灾发生的特点

森林火灾的发生具有蔓延快、感染性强的特点。在一片森林区域，如果一棵树木着火，会导致周边树木的着火，并引起火势迅速向四周蔓延，最终会影响整片森林区域。其主要特征表现为在一个固定区域内，个体间相互作用的模拟。与传统的传染病研究SIR模型的特点相类似，因此可以借鉴传染病SIR模型去研究森林火灾的发生及蔓延。

1.2森林火灾模型的假设条件

（1）在森林火灾发生期内所考察的地区范围不考虑树种的生长、死亡、迁移等种群动力因素。总树种数N(t)不变，树种始终保持一个常数N。树种群分为以下三类：易触火者(未燃烧)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未燃烧但有可能被大火触及的树种数占总树种数的比例；触火者(燃烧中)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被燃烧成为触火树种而且具有传染力的树种数占总树种数的比例；移除者(熄灭)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从燃烧树种中移出的树种占总人数的比例。

（2）假设时间以小时为计量单位，树种的每小时触火率为λ，每小时熄灭率为μ，触火期接触数为

1.3森林火灾模型的构成

在以上三个基本假设条件下，易触火者（未燃烧）从触火到移除的过程图表示如下：

根据假设（1）可以得出：

s(t)+i(t)+r(t)=1

需要建立s(t)，i(t)，r(t)的两个方程组，如下所示：

N[i(t+△t)-i(t)]=λNs(t)i(t)△t-μNi(t)△t

N[s(t+△t)-s(t)]=-λNs(t)i(t)△t

对于移除体(熄灭)的数量应为：

假设初始时刻的易触火者(未燃烧)，触火者(燃烧中)，移除者(熄灭)的比例分别为[s0]（[s0]＞0），[i0]（[i0]＞0），[r0]=0。于是得到SIR模型为如下微分方程组初值问题：

而由s+i+r=1有dr/dt=-di/dt-ds/dt，于是上式的第三个方程变为恒等式，从而模型可以简化为：

i0+s0≈1(通常r(0)=r0很小）

可以得出相轨线：

相轨线i(s)的定义域为：D={(s，i)|s≥0，i≥0，s+i≤1}，可以作出相轨线i(s)的图形进行分析。

图1　相轨线i(s)

当s(t)单调减趋向于相轨线i(s)的方向，s=1/σ，i=im，

图1中P1为s0＞1/σ→i(t)先升后降至0，表示森林火灾会蔓延。P2为s0＜1/σ→i(t)单调降至0，表示森林火灾不蔓延。可以得出预防森林火灾蔓延的条件，即为s0＜1/σ。因此可以通过提高阈值1/σ达到降低s(=λ/μ)的目的，即降低触火率λ，提高熄灭率μ。

2　森林火灾SIR模型改善及模拟仿真

森林火灾模型的主要特点表现在火灾的发生对空间个体相互作用的模拟。基于已建立的森林火灾SIR模型，触火者(燃烧中)只能触及与其相邻的易触火者(未燃烧)。因此定义点(x,y)的8个相邻点分别为：(x-1,y-1)，(x-1,y)，(x-1,y+1)，(x,y-1)，(x,y+1)，(x+1,y-1)，(x+1,y)，(x+1,y+1)。利用离散化的步骤改善模型。在每一步中，每个触火个体以概率λ触及与其相邻的易触火者(未燃烧)。令x表示与一个易触火者(未燃烧)相邻的触火者(燃烧中)总数，则该易触火者(未燃烧)以概率(1-λ)x保持未被触火。在触及其他个体被触火后，每个触火者(燃烧中)以概率μ被移除。

假设森林火灾限制在一个空间为二维的矩阵网格中，令Xt表示在时刻t时的一个二维矩阵，并且令Xt(i，j)=

在数据分析软件中模拟森林火灾模型的模拟仿真实验，得出如下的输出结果散点图。

图2　λ=0.2，μ=0.7的森林火灾模拟扩散图

假设在二维矩阵图中，在网格中心位置存在单一的着火点，在5，10，15，20小时模拟森林火灾的扩散，图2为在触火率λ=0.2，熄灭率μ=0.7的模拟森林火灾的两个状态。图中深色和浅色点分别表示触火者(燃烧中)和移除者(熄灭)。

图3　λ=0.4，μ=0.6的森林火灾模拟扩散图

从图3可以看出，当λ=0.4，μ=0.6，模拟森林火灾的扩散速度和面积变大，可以得出这样的结论，随着λ的增加或者μ的减少，森林火灾扩散，即发生大型火灾的概率将大大增加。

3　结论

本研究根据SIR模型建立森林火灾发生的模拟仿真，在一个空间为二维的矩阵网格中模拟森林火灾的发生状态。结论表明，当触火率λ增加，或者熄灭率μ减小时，森林发生大型火灾的概率将会增加。同时，根据该森林火灾模型能够很好的模拟火灾发生的演变状态，文中限于篇幅仅列出了四种状态。从火灾模拟的演变过程可以看出，火灾的扩散并不是直线型的，而是属于一种不规则的变动，如果假设火灾的发生是沿着直线方向燃烧，那么每一个未燃烧树木，即易触火者(未燃烧)都与三个燃烧的树木，即触火者(燃烧中)相邻，该树木着火的可能性为1-(1-λ)3,考虑到树木，即每个触火者(燃烧中)以概率μ被移除，因此1-(1-λ)3＞μ，火灾将会变大。

根据上述建立的森林火灾SIR模型的模拟仿真结果及分析结论，可以看出，为预防和控制森林火灾的发生或蔓延，只有通过降低触火率λ和提高熄灭率μ两个基本途径，其中降低触火率可以通过禁止森林区域内的一切火源，例如禁止吸烟、禁止燃烧等途径降低触火率，达到预防或者控制火灾的目的。提高熄灭率可以通过研制新型防火灭火工具等手段去更好的控制森林火灾的发生或蔓延。

[1]冯丽萍,王鸿斌,冯素琴.改进的SIR计算机病毒传播模型[J].计算机应用,2011,(7).

[2]马源源,庄新田,李凌轩.股市中危机传播的SIR模型及其仿真[J].管理科学学报,2013,(7).

[3]李可嘉,王义康.改进SIR模型在社交网络信息传播中的应用[J].电子科技,2013,(8).

（责任编辑/易永生）

S762

A

1002-6487（2016）19-0076-02

尹楠（1982—），男，江苏镇江人，博士，讲师，研究方向：管理信息系统。