具有四参数区间偏好序的TOPSIS群决策方法

董坚，陈春芳，温磊，顾亚琼

（南昌大学理学院，南昌330031）

具有四参数区间偏好序的TOPSIS群决策方法

董坚，陈春芳，温磊，顾亚琼

（南昌大学理学院，南昌330031）

通过放宽对三参数区间数型偏好序重心的约束条件，文章提出了一种三参数区间数型偏好序的推广形式：四参数区间偏好序，在此基础上研究了具有未知权重的改进TOPSIS方法。该方法的具体步骤为：首先通过限制四参数区间偏好序两两之间的距离总和最小，建立数学模型来确定权重向量，然后通过计算各方案与正负理想之间的距离得到改进的贴近度，进而根据各方案的贴近度得出最优方案。

四参数区间偏好序；群决策；贴近度；TOPSIS

在决策过程中，由于被判断事物的模糊性和复杂性，决策者出于谨慎的考虑，可能会给出偏好信息是序区间[1]的形式。文献[2]提出了序区间偏好的加权平均集结算子，通过该算子可以求出总体的序区间偏好，之后通过比较个人与总体的接近程度，提出了一种基于一致性的确定权重的方法。文献[4]将文献[2]中的方法推广到了三参数区间数型偏好序[5]。然而，文献[3]证明了文献[2]中所求出的权重是一个与数据无关的常量，进而提出了改进的求权重方法：通过比较任意两个序区间集，若任意两个序区间集上的距离都尽可能小，则总体的序区间集就会有更高的一致性。

本文通过放宽对三参数区间数型偏好序重心的约束条件，提出了四参数区间偏好序，定义了四参数区间偏好序的距离，并利用文献[3]中的方法确定权重，然后通过计算各方案与正负理想方案之间的距离，得到改进的贴近度以选择最优方案。

1　三参数区间数型偏好序

定义1.1[5]对某一个由n方案组成的决策问题，设=[rL，rM，rU]，rL，rU∈Z+，Z+表示正整数集，且rL≤rM≤rU，则称为三参数区间数型偏好序，其中rL和rU分别为三参数型偏好序的下限和上限，rM为表示该方案可能性最大的偏好序数。特别地，若rL=rM=rU时，则=[rL，rM，rU]退化为确定型偏好序数。

2　四参数区间偏好序

2.1四参数区间偏好序的定义

2.2四参数区间偏好序集的距离

规范化欧几里德距离为：

推广的规范化距离为：

其中λ＞0。

2.3四参数区间偏好序的比较

3　群决策模型

3.1问题描述

在一个由m个决策者和n个方案构成的群决策问题中，设方案集为决策者集为E= {e1，e2，…，em}，且决策者的权重向量完全未知，假设为。令表示第k个决策者对方案集X给出的四参数区间偏好集，其中为第k个决策者ek对于第i个方案xi给出的四参数区间偏好序。m个决策者对方案集X给出的四参数区间偏好序信息可用矩阵表示：记为，

3.2权重向量的确定

针对三参数区间数型偏好序，文献[4]通过要求群体与个人一致性最大化提出了基于权重的优化模型：

用拉格朗日乘数法求解此模型可得：

其中e=(1，1，…，1)T

从而对于权重我们有：

通过上面的分析我们可知，上述模型所求的权重值是一个与数据无关常量。针对这种情况[3]，我们在新距离定义下将该方法推广到四参数区间偏好序的情况。

然而离正理想方案最近的方案不一定同时离负理想方案最远。若记负理想方案为x-，则负理想方案可以由下式决定：

相对贴近度RC(xi)越小，则对应的方案越优。然而Hadi-Vencheh和Mirjaberi[6]指出在某些场合下，由相对贴近度得求得的最优方案可能不会在离正理想最近的同时，又离负理想最远。因此他们提出应该用如下的改进的贴近度，而不是用相对贴近度

从改进的贴近度ζ(xi)的表达式易知：ζ(xi)越小则方案xi越优。

4　实例分析

e1:={[2，3，4，6]，[2，2，3，4]，[3，4，4，5]，[1，2，3，4]， [1，2，2，3]，[2，3，4，5]}

e2={[2，3，3，4]，[1，2，3，4]，[2，4，5，6]，[3，4，5，6]， [1，2，3，4]，[2，3，4，6]}

e3:={[2，3，4，5]，[1，1，1，2]，[3，4，5，6]，[2，3，4，5]， [2，2，4，5]，[1，2，3，4]}.列出决策者们对于方案集X给出的四参数区间偏好序矩阵，

因为e=(1，1，1)T所以由公式可求得权重向量：

λ=(0.3478，0.3132，0.3390)T。

(3)通过得分函数及公式求出正负理想方案如下：

x+={[1，2，2，3]，[1，2，3，4]，[1，1，1，2]}

x-={[3，4，4，5]，[3，4，5，6]，[3，4，5，6]}

(4)由公式求出每个方案相对于正负理想方案的距离：

表1　方案相对于正负理想方案的相关信息

(5)通过改进的贴近度公式，求出每个方案的改进贴近度ζ(xi)。根据改进贴近度ζ(xi)对方案进行排序，ζ(xi)越小的方案越优。由表2知方案的排序为：x2≻x5≻x6≻x1≻x4≻x3，因而最佳投资方案为x2。

5　结束语

首先定义了四参数区间偏好序的概念，介绍了四参数区间偏好序上的距离定义，在此基础上提出了四参数区间偏好序上的权重确定方法，之后利用改进的T0PSIS方法，提出了一种解决群决策问题的有效方法。提出的方法计算简洁有效，决策过程简单易行。

[1]Fan ZP,Liu T.An Approach to Solve Group-Decision-Making Prob⁃lemsWith Ordinal Interval Numbers[J].Systems,Man,and Cybernet⁃ics,PartB:Cybernetics,IEEE Transactionson,2010,40(5).

[2]Xu ZS.Group Decision Making Model and Approach Based on Inter⁃val Preference Orderings[J].Computers&Industrial Engineering, 2013,64(3).

[3]Xu Y J,Wang H M,Sun H,etal.A Distance-Based Aggregation Ap⁃proach for Group Decision MakingWith Interval PreferenceOrderings [J].Computers&Industrial Engineering,2014,（72）.

[4]董坚,陈春芳,温磊.基于等级偏好占优关联系数的群决策模型[J].统计与决策,2015,(5).

[5]林健,姜永.基于三参数区间数型偏好序的群决策方法[J].山东大学学报(理学版),2011,(7).

[6]Hadi-Vencheh A,MirjaberiM.Fuzzy Inferior Ratio Method forMulti⁃ple Attribute Decision Making Problems[J].Information Sciences, 2014.

（责任编辑/易永生）

C934

A

1002-6487（2016）19-0042-03

江西省自然科学基金资助项目（20114BAB201007；20142BAB201007）；江西省教育厅科学研究项目（GJJ13081）；“江西省“十二五”重点学科资助项目

董坚（1991—），男，江西大余人，硕士研究生，研究方向：决策分析和统计分析。陈春芳（1971—），女，江西抚州人，博士，教授，研究方向：决策分析和统计分析。