无穷大的比较及应用

李海霞 聂东明

(安徽新华学院公共课教学部安徽合肥230088)

无穷大的比较及应用

李海霞 聂东明

(安徽新华学院公共课教学部安徽合肥230088)

利用无穷大的比较，讨论了无穷大的比较在比较函数大小、计算极限、确定方程的根及判断正项级数收敛性上的应用。

无穷大；无穷大的阶；函数大小；极限；正项级数收敛性

无穷小的比较是极限理论及极限计算的重要工具，是高等数学中一个非常重要的知识点，所以关于无穷小的讨论非常多[1-4]。仿照无穷小的比较，也可以给出无穷大的比较的概念[5]，并且无穷大的比较的应用也非常广泛[6-11]。本文根据常见函数增大快慢速度，即无穷大的阶，探讨无穷大在比较函数大小、极限计算、方程的根及判断正项级数收敛性等方面的应用。

1.无穷大的比较概念

定义1.1[5]设u(x)、v(x)是同一变化过程中的无穷大，且v(x)≠0，在这个变化过程中，

定理1.1[5]当n→∞,1nαn(α＞0),nβ(β＞0),an(a＞1),n!,nn是一个比一个更高阶的无穷大。

将上述自然数n换成变量x，得到。

推论1.2当n→+∞,1nαx(α＞0),xβ(β＞0),ax(a＞1)是一个比一个更高阶的无穷大。

（若α为非整数，可连续使用s次罗比达法则，使得α-s＜0为止，

根据以上定理和推论，介绍无穷大的比较的应用。

2.无穷大的比较在比较函数大小中的应用

利用推论1.2，很容易得到答案为C。而答案解析过程是利用罗比达法则求极限，结合极限的局部保号性得出答案。如比较f(x)和g(x)的大小，根据：

由极限局部保号性，f(x)＜g(x)；同理可得g(x)＜h(x)。

3.无穷大比较在极限计算中的应用

无穷大比较在极限计算中的应用，也有论文谈及[5-10]，但主要是仿照等价无穷小代换，利用等价无穷大代换求极限。事实上，完全可以利用推论1.2来求极限。

例3.1[12]为正整数，λ＞0）。

解：相继应用罗比达法则n次，得

本题若利用eλx是xn的高阶无穷大（λ＞0，所以eλ＞1），很容易得到结果为0。

4.无穷大的比较在判断方程根中的应用

例4.1讨论方程1nx=ax（其中a＞0）有几个实根？

判断方程实根存在性时，常利用零点定理，而题中a是一个大于0的参数，若要在区间（0.+∞）找到一个点使得函数f(x)取到正值，很难实现；另一方面，若利用函数1nx和幂函数xβ当x→+∞时增大的快慢速度，很容易判断出结合极限的局部保号性，一定存在当x＞M时，f(x)恒为负值。那么方程1nx=ax即f(x)=0是否有根既实根的个数，就要观察曲线y=f(x)是否穿过x轴，亦即f(x)的极大值在x轴上方或下方来决定。具体求解过程如上。

5.无穷大比较在判断正项级数收敛性中的应用

此题利用了nβ是比1nn高阶的无穷大量。

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［3］李强.函数极限中等价无穷小的应用探讨[J].铜仁学院学报,2009,11(3):142-144.

［4］凌寿铨.无穷小在极限及正项级数方面的应用[J].河北北方学院学报(自然科学版),2008,24(6):12-14.

［5］陈纪修，於崇华，金路.数学分析[M].高等教育出版社.

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［12］同济大学数学系编.高等数学[M].高等教育出版社.

Comparison of infinity and its application

LiHai-xiaNieDong-ming

(Department of Common Course,Anhui Xinhua UniversityAnhuiHefei230088)

On the basis of comparison of infinity,its application is discussed in comparison of function size,limit calculation,equation root and positive series convergence.

Infinity；Order of infinity；Function size；Limit；Positive series convergence.

O172

A

2095-7327（2016）-10-0131-02

安徽省高校自然科学研究重点项目（KJ2015A308）、安徽新华学院项目（2013xgg05,2014zr011,2015jy039）。

李海霞（1982—），女，汉族，河南南阳人，副教授。