六维力反馈控制器的设计及参数优化

张 凯，宮金良，张彦斐

(山东理工大学 机械工程学院，山东 淄博 255049)



六维力反馈控制器的设计及参数优化

张 凯，宮金良，张彦斐

(山东理工大学 机械工程学院，山东 淄博 255049)

针对现有的可用作六维力反馈控制器的并联机构动态性能差，刚度差，承载能力差等问题，设计了一种新型三支链六自由度并联机构，建立了逆运动学方程并得到位置反解的解析解。基于约束条件和位置反解，利用一种搜索速度快、搜索精度高的改良极坐标搜索法绘制出了并联机构定姿态工作空间的截面图和实体图。最后以内接于工作空间且高度H与直径D相等的圆柱体的直径为目标，利用全局搜索法得到一组最优机构参数，在机构整体尺寸基本不变情况下使工作空间的内接圆柱体直径增大40%，达到优化机构参数的目的。

并联机构；工作空间；参数优化

0 引言

六维力反馈控制器是为操作者提供力觉临场感，并对被控对象进行位姿控制的重要装置。并联机构因其具有刚度高、承载能力大、速度高等优点，很适合作为六维力反馈控制器的本体机构[1-2]。Byun[3]提出了一种3-PPSP六自由度并联机构，周奖清与傅蔡安[4]提出了一种3-RRRS六自由度并联机构，这两种并联机构将三个驱动电机设置在机架上，其余电机安装在活动构件上，动态性能较差。高征[5]提出的3-UrRS和虞启凯[6]提出的3-UrSR并联机构均采用球面5-R机构作为复合驱动装置，动态性能良好，但是存在较多奇异位形[7]。

本文提出六维力反馈控制器采用3-URS并联机构为核心，通过新型球面二自由并联机构为驱动，具有刚度大、工作空间大且无奇异点等优点。建立了该并联机构的逆运动学方程并得到位置反解的解析解。基于约束条件和位置反解，利用一种搜索速度快、搜索精度高的改良极坐标搜索法绘制出了并联机构定姿态工作空间的截面图和实体图。最后以内接于工作空间且高度H与直径D相等的圆柱体的直径为目标，利用全局搜索法得到一组最优机构参数，为通用力反馈控制器的设计奠定了理论基础。

1 六自由度并联机构特征描述

3-URS并联机构如图1所示，该机构由静平台和动平台通过三条完全相同且呈中心对称分布的支链连接而成。每条支链由虎克铰、转动副、球面副及上连杆和下连杆串联。虎克铰为球面二自由度并联机构，该球面二自由度并联机构由基座、轴a、轴b、下连杆组成。轴a和轴b的中轴线相互垂直且相交于点A。下连杆和轴b由转动副连接，此转动副的中轴线过点A。下连杆的圆柱形滑杆与轴a的矩形滑槽相配合。驱动电机均置于基座上，用于驱动轴a和轴b，角度由编码器检测。

图1 并联机构示意图

2 机构逆运动学

如图2和图3所示，Ai(i=1，23)为轴ai和轴bi的转动轴交点，Bi为球铰的中心点，A1、A2、

图2 机构坐标系示意图

A3及B1、B2、B3围成等边三角形，O、O1分别为两等边三角形中心点。Pi为下连杆矩形杆的中心线MiPi和转动副中心线的交点，l1为Ai、Pi两点间距离，l2为Pi、Bi两点间距离。直线AiMi为圆柱形滑杆中心线，过Bi点做BiHi⊥AiMi，交AiMi于Hi点。直线AiCi是连接下连杆与轴ai的转动副的中心线。θ为直线AiPi和AiCi的夹角。

为便于计算，以O为原点建立静坐标系OXYZ，Z轴垂直于A1A2A3向上，

图3 单支链标注示意图

Y轴指向A3，X轴由右手螺旋法则确定；同理在动平台上建立动坐标系O1UVW。设O1在坐标系OXYZ中的坐标OO1=(x，y，z)，此处采用Z-Y-Z型欧拉角表示O1UVW坐标系的姿态[8]。设动坐标系的欧拉角为α，β，γ，以Ai点为原点，建立坐标系AiXiYiZi，Zi轴垂直于A1A2A3向上，Xi轴指向O，Yi轴由右手螺旋法则确定，Xi轴、Yi轴分别为轴ai和轴bi的转动轴。αi为轴ai绕Xi轴的转角，βi为轴bi绕Yi轴的转角，γi为向量PiAi和直线PiBi之间的夹角，其中(i=1，2，3)。

Bi点在坐标系OXYZ中的坐标可表示为：

OBi=Euler(α,β,γ)O1Bi+OO1

(1)

设三角形B1B2B3边长为b，则点B1，B2，B3在动坐标系O1VUW中的坐标为：

(2)

其中，δi(i=1，2，3)依次取值为30°、150°、270°。将以上坐标代入式(1)可得Bi(i=1，2，3)在静坐标OXYZ中坐标为：

(3)

设三角形A1A2A3边长为a，则：

(4)

AiBi=O Bi-OAi

(5)

(6)

由式(3)、式(6)可以得到Bi点在坐标系OXYZ中的坐标和γi，下一步用空间几何法得到关于αi、βi、γi、xi、yi、zi(i=1，2，3)的方程组，进而解得αi、βi。设坐标系Xi轴、Yi轴、Zi轴的单位向量为ai、bi、ki，则在静坐标系OXYZ中：

ai=(cosδi，sinδi，0)，ki=(0，0,1)

(7)

(8)

设向量AiHi的单位向量为di，由图2中几何关系得：

(9)

ci=cosβi·ai-sinβi·ki

(10)

由图3中几何关系得：

AiBi=L1i·di+L2i·ci

(11)

其中，L1i=l1sinθ+l2sin(γi-θ)，L2i=-l1cosθ+l2cos(γi-θ)。且有，

(12)

其中，L1i、L2i、Ki与式(9)、式(11)中相同。

PiAi=l1cosθ·ci-l1sinθ·di=(pxi,pyi,pzi)

(13)

由式(9)和式(10)可得，

PiBi=PiAi+AiBi

(14)

(15)

(16)

由方程组(12)得：

(17)

由式(2)、式(6)与式(17)能够得到两组αi、βi，将得到的两组αi、βi代入方程式(16)。给定并联机构动平台位姿，经位置反解的计算可得到αi、βi、γi等关节参数的值，结合机构的约束条件可判断并联机构在给定位姿下是否可以达到给定位置。

3 定姿态工作空间

设定姿态角为α=β=γ=0，在确定工作空间时，主要考虑的约束条件有：

图4 球面副的转角

(1)如图4所示，球面副的转角φi是由与球铰基座固结的单位向量ui和与球铰杆的单位向量nBi的夹角，φi∈(0，π/4)。为了扩大关节的转动范围，当αi=βi=0时，基座向量ui和杆向量nBi重合；

(2)考虑到机械零件之间的干涉，取αi∈(-π/3，π/3)，βi∈(-π/3，π/3)；

(3)由机械结构限制，下连杆向量PiAi到上连杆向量PiBi的旋转角范围为(0，π)，即向量PiAi×PiBi和向量ci×di方向相同；

一般极坐标搜索算法[9]，极轴按照固定步长Δρ搜索边界点，该方式无法兼顾搜索速度和边界精度。当极轴搜索步长Δρ取值较大时，搜索速度快，但边界精度低；反之，搜索速度慢，边界精度高。本文提出一种改良极坐标搜索算法，用该搜索算法搜索Z=Z0子空间边界的流程如图5，其具体步骤为：

(1)用极坐标表示子空间内坐标点，设初始极角ψ=0，极轴ρ=0，搜索步长Δρ；

(2)判断坐标点(Z0，ψ，ρ)是否在工作空间内，若在工作空间内，取m=1，反之取m=0；极轴ρ增加Δρ，即ρ=ρ+Δρ，判断坐标点(Z0，ψ，ρ)是否在工作空间内，若在工作空间内，取n=1，反之取n=0。判断m&&n=0，m||n=1是否成立，若不成立，ρ继续增加，若成立，说明点(Z0，ψ，ρ-Δρ)和点(Z0，ψ，ρ)之间存在边界点，采用二分逼近法逼近边界点，具体做法为：设d=Δρ，当m=1时，令d=d/2，ρ=ρ-Δρ+d，判断点(Z0，ψ，ρ)是否在工作空间内，若在工作空间内，ρ不变，反之ρ=ρ-d，继续令d=d/2重复上面步骤，直到d小于搜索精度d0，此时坐标点(Z0，ψ，ρ)为工作空间的一个边界点，绘制边界点，当m=0时，以相似的方法绘制出边界点，极轴ρ从该边界点以上述同样的方式增加直至ρ>ρmax；

(3)极角ψ增加Δψ，ρ=0，重复步骤(2)；

(4)重复步骤(3)直至ψ>2π，Z=Z0子空间边界点全部绘制出。

显然这种搜索算法的搜索精度由搜索精度d0决定，与极轴搜索步长Δρ的大小无关，这样即便设定比较大的步长Δρ也可以保证了边界搜索的精度。利用该算法确定子空间的边界曲线时，在子空间的类型未知的情况下，子空间有可能存在空洞，极轴搜索步长Δρ应该取相对较小的值，防止漏掉边界点；在已知子空间为单域时，极轴搜索步长Δρ应该取相对较大的值，提高搜索速度。

图5 改良极坐标搜索算法

基于运动学逆解和约束条件，采用改良极坐标搜索法确定并联机构定姿态的工作空间。机构参数如表1，设定搜索空间为极轴ρ∈(0，400)，极角ψ∈(0，2π)，Z∈(0,400)，子空间高度ΔZ=5，极角增量Δψ=π/100，极轴搜索步长Δρ=10，d0=0.01mm。

表1 机构参数设定

图6为改良极坐标搜索法得到的α=β=γ=0的工作空间截面图和三维实体图，工作空间的截面全部是单域的，且在此姿态下的工作空间不存在凹洞，一条极轴上只存在一个边界点，因此在之后优化过程中确定工作空间边界时，极轴搜索步长可选择一个较大的值以提高搜索速度。

图6 定姿态工作空间截面图与三维实体图(α=β=γ=0)

4 机构参数优化

优化机构尺寸参数，可以在机构整体尺寸基本不变的情况下，获得机构最大的工作空间，从而发挥机构的最佳性能[10]。

由于工作空间不规则，因此直接用工作空间的体积来衡量工作空间并不合适。本文采用内接于工作空间且高度H与直径D相等的圆柱体直径D来衡量工作空间大小，图7为内接圆柱截面图。为了保证机构整体尺寸参数基本不变，上下两杆总长度l1+l2是定值，此处设定l1+l2=400mm，那么机构参数l1，l2中，只选择l1作为变量即可，因此需要优化的结构参数有l1、θ、a和b。考虑到设备的体积、机械零件之间的干涉与人体工程学指标等因素，参数l1，θ，a，b的取值范围为100mm≤l1≤300mm，50°≤θ≤90°，220mm≤a≤260mm，50mm≤b≤150mm。

图7 内接圆柱截面图

机构参数在不同取值时可以任意组合，因此工作空间的最优化设计属于全局最优问题，即在l1、θ、a、b的取值范围内，寻找最优解，使得：

D*=max{D(l1，θ，a，b)}

(19)

采用全局搜索法，设定一定的步长，采样计算，得到在采样点钟相对最佳的一组参数，如表2所示。依据表2所示优化后的机构参数，优化后，内接于工作空间的圆柱体的直径为229.4mm，而优化前仅为162.3mm，直径增大了0.40倍，达到了预期的优化目标。

表2 优化后机构参数

5 结论

本文将三支链六自由度并联机构用于力反馈控制器，具有工作空间大，动力性能好，承载能力强等优点；得到了运动学逆解，并基于运动学逆解和约束条件利用改良极坐标搜索算法绘制出了机构的工作空间的截面图和三维实体图；以内接于工作空间且高度H与直径D相等的圆柱体直径为优化目标，采用全局搜索法得到一组最优机构参数，在整体尺寸基本不变的情况下使内接圆柱体直径增大40%。

[1] Gosselin C， Angeles J. The Optimum Kinematic Design of a Spherical Three-Degree-of-Freedom Parallel Manipulator[J]. Journal of Mechanical Design，1989，111(2):202-207.

[2] 关春婉， 宫金良， 张彦斐. 一种2-PPr平面并联机构的静刚度分析[J]. 组合机床与自动化加工技术，2015(9):10-12.

[3] Byun YK， Cho HS. Analysis of a novel 6- DOF 3-PPSP parallel manipulator[J]. International Journal of Robotics Research，1997， 16(6):859- 872.

[4] 周奖清，傅蔡安. 一种新型6自由度并联机构的工作空间分析[J]. 组合机床与自动化加工技术，2008(1):23-26.

[5] 高征，高峰． 6 自由度 3-UrRS 并联机构的位置正解分析[J]．机械工程学报，2007，43( 12) : 171-177.

[6] Qikai Y， Youpeng Y，Jiangyi H， et al. Position and Workspace Analysis of a Novel Parallel Mechanism Named 3-UrSR with Six Freedoms [J]. Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering，2012，4: 010.

[7] 张立杰．两自由度并联机器人的性能分析及尺寸优化[D]．秦皇岛:燕山大学，2006.

[8] 黄真，李艳文，高峰．空间运动构件姿态的欧拉角表示[J].燕山大学学报，2002，26(3)：189-192

[9] 黄真，孔令富，方跃法．并联机器人机构学理论及控制[M].北京：机械工业出版社，1997.

[10] 冯志友，李永刚，张策，等．并联机器人机构运动与动力分析研究现状及展望[J]. 中国机械工程，2006，17(9)：979-984.

(编辑 李秀敏)

Design and Parameter Optimization of a Six-dimensional Force Feedback Controller

ZHANG Kai，GONG Jin-liang，ZHANG Yan-fei

(School of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology, Zibo Shandong 255049, China)

Currently existing parallel mechanism which can be use as the six-dimensional force feedback controller has shortcoming of worse dynamic performance, poor bearing capacity, bad stiffness and so on. Aiming at this kind research situation, a novel 6-DOF parallel mechanism with three branched chain is designed in this paper. The inverse kinematics of the mechanism is built and the analytical solution of the inverse solution is got. A modified polar coordinate searching method which has rapid searching rate and high search veracity is proposed, the cross-sectional views and 3D entities picture of certain posture working space is drawn using this searching method. At last, using the global optimization algorithm, the mechanism parameters is optimized aiming at maximizing inscribed cylinder of workspace whose height and diameter is equal. The diameter of inscribed cylinder has an increase of 40% after optimization.

parallel mechanism; workspace; parameters optimization

1001-2265(2016)11-0024-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.11.007

2015-11-21；

2015-12-30

国家自然科学基金项目(61303006)；山东省优秀中青年科学家科研奖励基金项目(BS2012ZZ009)

张凯(1988—)，男，山东曲阜人，山东理工大学硕士研究生，研究方向为并联机器人理论，(E-mail)qfzhangkai88@163.com；通讯作者：宮金良(1976—)，男，河北泊头人，山东理工大学副教授，博士，研究方向为机器人理论及装备，(E-mail)gjlwing@sdut.edu.cn。

TH164；TG659

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