关节型机器人轨迹规划算法及轨迹规划研究现状

孙瑛，程文韬，李公法 孔建益，蒋国璋，李喆 武汉科技

(大学机械自动化学院，湖北武汉430081)



关节型机器人轨迹规划算法及轨迹规划研究现状

孙瑛，程文韬，李公法 孔建益，蒋国璋，李喆 武汉科技

(大学机械自动化学院，湖北武汉430081)

随着制造产业的飞速发展，工业机器人逐渐在人们的生产活动中变得尤为重要。而轨迹规划对于机器人提高工作效率和质量都十分关键。针对机器人轨迹规划在国内外的研究进展进行了综述，介绍了一些常用的关节型机器人的轨迹规划算法，包括关节空间中三次多项式插值算法、五次多项式插值算法、抛物线插值算法以及笛卡尔空间中的直线插补和圆弧插补等轨迹规划算法。同时对各轨迹规划算法进行了对比分析得出其各自优劣，介绍了空间轨迹规划和最优轨迹规划的研究现状,分析了目前一些方法所产生的作用与存在的缺陷或问题，并指出这些算法在以后的研究中应考虑的方向以及关节型机器人有待进一步研究的轨迹规划问题和发展趋势。

关节型机器人；轨迹规划；关节空间；笛卡尔空间

当今工业领域中，机器人已被广泛的应用起来，其中关节型机器人，也被称为关节手臂机器人或关节机械手臂，是最常见的工业机器人的形态之一[1]。关节型机器人的主要特征是模仿人类腰部到人类手臂大体上的构造，通常由机座部分与腰关节转动装置、手腕部分与其关节转动装置、小臂部分与其关节转动装置、大臂部分与其关节转动装置和末端执行器组成[2]。在同体积的情况下，其他结构的机器人的绝对和相对工作空间与关节型机器人相比小得多[3]。关节型机器人的自由度很高，它几乎在任何轨迹或角度工作都可以，并且可以自由编程，实现全自动化的工作。在提高生产效率、可控制的错误率、替代许多对身体健康有害不适合人来从事的工作(比如汽车外壳点焊[4])等都有很强大的作用。

轨迹规划和路径规划结合起来构成了机器人的运动规划[5]。其中路径是在不考虑机器人位姿参数随时间变化的情况下机器人位姿的一系列序列，而轨迹是机器人根据任务需求，找出任务过程中位移、速度、加速度3者随时间变化的关系[6]。

轨迹规划是按照任务要求，求解出机器人预期的运动轨迹，即对机器人的任务、运动路径和轨迹进行描述，实时求解出机器人运动的位移、速度和加速度，从而生成运动轨迹。近几年来，关节机器人的轨迹规划技术逐渐成为国内外机器人研究范畴内的热点之一，同时也成为了机器人应用和研发的关键[7]。在控制机器人的过程中，其能量损耗、工作效率和平稳运动均受到它的轨迹规划功能的重要影响[8]。在实际的生产应用中，由于电动机受物理的限制提供的能量有限，而不能满足突变运动所需要的极大的动力，从而导致机器人的关节磨损，使用寿命减少，因此，在运动过程中的机器人系统需尽力避免出现速度、加速度、位移的突变，保持平稳无震动[9]。为了让机器人各关节运动满足上述要求，且关节运动既可以平稳无震动又保证高效节能，则必需选择适合的方法对关节机器人的运动轨迹进行规划。关节型机器人在开始动作时，主要根据已设置的相干形状轨迹进行运动，此时则必需对运动轨迹进行分析，即对轨迹进行规划，然后获取轨迹的有关信息，再输进控制系统里来操控机器人工作[10]。因此，对于它的运动平稳性，轨迹规划作为控制系统组成部分之一有着至关重要的作用。但是与关节型机器人的轨迹规划研究进展有关的综述，目前国内外十分少。因此,笔者对关节型机器人轨迹规划研究进行了系统地分析，同时对这些轨迹规划算法进行了对比分析，从而提出关节型机器人轨迹规划的未来发展趋势及有待进一步探究的问题。

1 轨迹规划算法

1.1 关节空间轨迹规划算法

关节型机器人在关节空间中进行轨迹规划时，用时间函数来描述关节变量，并规划关节变量时间的函数一阶和二阶时间导数[11]。由于机器人的轨迹只是通过关节角度的函数来表示且不考虑两路径点之间的轨迹形状，使得求解起来简单省时。

图1 关节空间中的机器人轨迹规划流程图

在进行轨迹规划时，首先将各个运动路径点利用逆运动学方程转变为关节路径点，其次通过各关节对应的关节路径点进行拟合光滑函数[12]。这些关节轨迹函数分别表明各关节从起始位置开始，通过所有路径点，最后抵达目的地的运动轨迹，其流程如图1所示。

1.1.1 三次多项式插值算法

在机器人运动过程中，若已知末端执行器的初始位姿与终止位姿，则相应两位姿可通过逆运动学方程求出其各关节角度[13]。在关节空间中，用θ(t)表示通过起始位置和终止位置关节角的平滑轨迹函数，由它来代表末端执行器实现两位姿的运动轨迹的描述。为了保证运动的平稳性，各关节的轨迹函数θ(t)最少满足两端点相应位姿的角度和速度4个限制条件。

在t0=0时，起始位姿对应的关节角度为θ0；在t=tf时，终止位姿所对应的关节角度为θf，即：

(1)

为保证各关节速度在运动时连续，两端点处可初步设定为零，即：

(2)

由式(1)和式(2)可以唯一确定一个三次多项式：

θ(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3

(3)

则由式(3)可知运动中的关节速度和关节加速度为：

(4)

当满足连续平稳运动要求且关节运动的初速度为零时，三次多项式插值函数为：

(5)

则由式(5)可知关节角速度和角加速度为：

(6)

(7)

1.1.2 五次多项式插值算法

五次多项式通过6个限制条件来决定它仅有的6个未定系数。这6个条件分别由起始位置和目标位置处的关节量来获取，其中关节变量主要包括角度、角速度和角加速度。此时五次多项式可用关节变量的时间函数来表示，则在经过一次求导后可以得到角速度的函数表达式；经过二次求导后可以得到角加速度的函数表达式。此时，它们的函数表达式为：

θ(t)=c0+c1t+c2t2+c3t3+c4t4+c5t5

(8)

(9)

(10)

对比五次多项式插值算法与三次多项式插值算法可知，后者的优点是在实行轨迹规划时，能够确保有连续的关节角度和角速度，并且仅仅只要对一个四元一次方程组进行求解即可，计算量相对较小。但是它的缺点也十分明显，由于不采用关节角加速度约束，因此对于关节角加速度无法保证其连续性，从而可能会造成关节处的电机发生振动。而五次多项式插值算法在进行轨迹规划时考虑了关节加速度约束条件，故能保证各节点处的各关节量的连续性，从而使得电机平稳运行。但相对三次多项式来说它的计算量会略微大一点。

1.1.3 抛物线插值算法

在使用前面算法时，会出现运动不稳定的情况，主要原因是插值函数的导数趋于无穷大也就是关节加速度趋于无穷大而造成。因此在各关节运动时，必须给各节点前后增加一小段缓冲区域来过渡，以此来保证位移和速度的连续性，避免加速度过大带来的影响。此处用带抛物线来进行过渡，得到如图2中的位置和速度连续图像。

由图2可知，抛物线二次函数的二次求导后为常数，相应过渡区的加速度为一固定值，避免造成加速度过大。因此在运动过程中关节不会产生跳跃，能够平滑过渡[14]。此时若2段过渡曲线内的加速度大小相同方向相反，且过渡时间都是tb，那么满足以上要求的过渡抛物线就有很多，获得的运动轨迹也不再仅仅只有一条。但是得到的每个带抛物线过渡的函数曲线都关于点(th,θh)对称，如图3所示。

图2 带抛物线过渡的线性插值

图3 带抛物线过渡的线性插值的多解和对称

为保证各节点处速度的连续性，则线性域速度必须与过渡域[t0,tb]终点tb处的速度相等，此时有：

(11)

(12)

根据式(11)与式(12)可以得到：

(13)

式中, 2th为这一段从起始位置到终止位置所经历的的时间。

(14)

此时为得到关节运动轨迹曲线，需要根据式(10)得到对应的tb，则：

(15)

1.2 笛卡尔空间轨迹规划算法

针对于不同情况，对于运动轨迹的形状机器人末端执行器也有不同的要求。比如要求它能在不同点之间按照的不同的形状轨迹运动[15]。为满足上述要求，此时则需要在笛卡尔空间中实施轨迹规划。事实上在两空间中实施轨迹规划时均可以选择同样的规划方法。但它们之间存在最本质的区别就是笛卡尔空间轨迹规划的关节角需要多次对逆运动学方程求解来得到，关节角速度则通过求解雅克比矩阵的逆来得到。整个过程可以简化为以下计算循环：

1)将时间增加一个增量得到t=t+Δt；

2)运用所选择的轨迹函数计算出手相应的位姿；

3)运用逆运动学方程将机器人手相应位姿的关节量求解出；

4)将关节信息传递给控制器；

5)返回到循环的开始。

1.2.1 直线插补算法

通过设定直线两端点处位姿，求解轨迹中间点即插补点的相应位姿的方法叫做空间直线插补[16]。对于大部分机器人来说，在沿直线运动时其姿态基本保持不动。直线插补步骤如下：

2)求间隔内的行程，此时分匀速、加速、减速3种情况来讨论：

a)匀速：设行程速度为v，则在插补周期Ts内的行程为d1=vTs；

4)判断插补点在3段中的哪一段，然后明确肯定各个轴的增量，及时将各插补点坐标求解出来；

5)依据各点坐标值，利用运动学逆解将各关节角求解出；

6)关节角的插值计算。

1.2.2 圆弧插补算法

图4 平面圆弧

已知不共线的3点p1(x1,y1)、p2(x2,y2)、p3(x3,y3)，如图4所示，若插补间隔时间为Ts，沿圆弧运动时速度为v，其规划计算如下：

1)由p1、p2、p3计算出圆弧半径R；

2)总的圆心角为θ=θ1+θ2，且有：

θ1=arccos{[(x2-x1)2+(y2-y1)2-2R2]/2R2}

θ2=arccos{[(x3-x2)2+(y3-y2)2-2R2]/2R2}

3)求时间间隔内走过的路程，此时分匀速、加速、减速3种情况讨论，此处与直线插补时雷同；

5)判断插补点在三段中的哪一段，然后明确肯定各个轴的增量，及时将各插补点坐标求解出来；

6)依据各点坐标值，利用运动学逆解将各关节角求解出；

7)关节角的插值计算。

2 轨迹规划研究现状

2.1 空间轨迹规划研究现状

早在1997年，Abdel-Malek K和Yeh H J[17]就提出了检测在空间中机械臂运行轨迹的精确性和完备性的一种数学分析计算方法。通过该方法可以保证机械臂顺畅的实施焊接以及焊缝的完备，为其后的关节型机器人的空间轨迹规划提供了十分关键的数学凭据。Wurll C和Henrich D[18]在1999年提出针对六自由度工业机器人的基于多目标及点对点空间轨迹规划最优的方案，运用该方案可以在保证获得更好的焊接质量的同时提升机器人的焊接效率。对于弧焊机器人系统，Pachidis T P 和Lygouras J N[19]研究出基于视觉的一种全局路径规划方法。2005年,上海交通大学的张珂等[20]研究出一种轨迹规划算法，即在自寻迹过程中移动关节型机器人位姿调整的算法。该算法对于轨迹追踪的精度十分高，且易于实现，因此在实际工程中有较高的应用价值。针对弧焊机器人系统，上海交通大学的周律等[21]在2006年又研究出一种基于局部视觉的自主焊缝轨迹生成方法。天津工业大学的王天琪等[22]对于石油平台管道T型焊缝进行研究，进而提出了一种多层多道焊的轨迹规划方法。2011年,江南大学的陈鲁刚等[23]为关节型机器人的轨迹规划设计出了一种便捷的方案，其主要是利用ADAMS软件对关节型机器人的逆运动学进行求解。中国工程物理研究院的曾翠华等[24]提出针对焊接球罐和圆柱的空间曲线焊缝，采用弗莱纳。雪列空间矢量对关节机器人在离线的情形下的轨迹进行规划编程，该方案有效的解释了空间矢量和轨迹规划在关节型机器人离线编程技术中的原理及算法。南昌航空工业学院的王晓峰[25]研究了焊接工艺参数与弧焊机器人的焊接姿态参数进行联合规划的方法，该方法在将焊接工艺参数与空间轨迹结合进行规划的方面迈出了重要一步，而且在机器人焊接过程自动化方面具有很关键的作用。

以上研究表明，对于关节型机器人的空间轨迹规划问题，目前在国内外被广泛的关注和深入研究，因此针对性也越来越强。但此时，研究的越深其局限性就越来越强，使得他们所提出的方法不是全部适合关节型机器人的空间轨迹规划。例如，对于上述Pachidis T P 和Lygouras J N所提出的方法，其主要应用于交通工具在具体焊接路径难以确定时的焊接生产中，如损坏汽车的修复；在利用周律、陈善本提出的举措来得到焊缝分别在低碳钢和铝合金对接焊缝时的坐标，对比发现铝合金的焊缝坐标精度要远远低于低碳钢的；天津大学王天琪提出的方法最后得到的结果主要应用在不考虑误差时管道接头为T型的移动式关节型机器人的焊接自动化过程中，其误差主要来源于管道安装和机器人工件标定，故存在一定的缺陷，需要将其完善后才能在实际生产中应用。总结上述研究可知，他们均没有将机器人空间轨迹规划与关节机器人的工艺参数结合起来考虑，仅仅只是很简单的针对其空间轨迹进行规划。因此若想要提大大提升焊接的效率和质量，则需要将焊接的工艺参数与关节型机器人的空间轨迹规划联合起来。而王晓峰虽然将焊接姿态和焊接工艺参数进行了联合规划，但也只局限于焊枪的姿态同焊接工艺参数之间的联系，并没有将焊枪的空间运行轨迹、焊枪的位置同焊接工艺结合在一起。

2.2 最优轨迹规划研究现状

针对于轨迹规划最优的优化指标，可以将其分为能量最优和时间最优2种。其中研究以时间最短为优化目标的轨迹规划方法要更多，也更为热门。对于能量最优，在1996年Hirakawa A R和Kawamura A就对关节型机器人系统耗费的能量采用了B样条曲线和变分法来实施优化，从而解决冗余机器人的轨迹生成问题[26]。Garg D P和Kumar M在2002年结合遗传算法和自适应模拟退火算法，将关节型机器人的优化目标设定为最小力矩，从而使机器人的运动轨迹最优，其主要针对的是2个连杆机器人和2个协调操作机器人[27]。

对于时间最优轨迹规划的求解，主要有2种类型的方法[28]：利用最大速度及加速度约束条件求解和通过各类基于非线性约束最优的算法求解。很多学者在机器人运动学基础之上研究出了许多关于时间最短的轨迹规划方法，如Lin等提出了依据机器人在速度、加速度、位置和二阶加速度的运动学限制的一种基于时间最短的规划规划方法[29];在相同运动学约束下，Tondu等也提出了相似的规划方法，不同的是，他们用带有光滑转折的折线将关节空间中的关键点连接到一起，达到了简化的效果[30]。Bazaz等认为在基于速度和加速度限制的前提下，连接关节空间中各关键点的最简单多样式曲线是三次样条曲线，以此为依据他们首先提出了一种算法，但该算法可能会使机器人在移动过程中发生振动，这是由于使用三次样条曲线时在关节空间关键点的连接处未将加速度的连续性考虑进去。后来Bazaz等总结之前的方案，将关节空间关键点的联接曲线换成具有平滑转折的三次曲线段，并以此提出了一种新算法[31]。Choi等提出了一种仅利用运动学方法和进化策略来求出优化模型的轨迹规划方法，该方法主要针对精确动力学方程难以获得的某些关节型机器人[32]。

上述研究虽然针对特定情况或在特定前提下都提出了各自的机器人最优轨迹规划算法，但每种算法也都有着各自的缺陷：Lin提出的是一种只针对局部的搜索算法，其性能主要受起始条件选择的影响；Tondu提出的算法无法在得到的轨迹中的已知点进行插值操作；而Choi提出的算法十分简易，源于其过度精简了原本的优化问题。在运动学和动力学约束条件下，许多优化算法如遗传算法、神经网络、改进的混沌优化算法、黄金分割法等，不但能较简单且有效地实现基于时间最优的关节型机器人轨迹规划，并且能够快速求解，缩短运行时间。由此看来，目前尚无一种通用的优化算法来进行关节型机器人的最优轨迹规划。

3 结语

综上所述，在关节和笛卡尔空间中均可以进行机器人的轨迹规划，但为了使其在运动过程中平稳，无震动，则所规划的轨迹函数都要保证连续且光滑。在关节空间时计算较简单，而在笛卡尔空间中则计算量大，从而会造成操纵间隔拖长的情况。在笛卡尔空间中进行轨迹规划时，即使机器人的工作范围内包含已知的路径点，轨迹的所有点也不可能确保都在机器人工作范围之内，而在关节空间中进行时则不会发生此类情况。另外，笛卡尔轨迹规划法有时也会发生机构奇异性的情况。在研究关节机器人空间运行轨迹时，如何找到一种通用的轨迹插补算法来同时完成两种空间轨迹规划中多种类别的插补、如何统一多种最优算法以及如何使得最优轨迹规划更简易的完成是未来研究中亟需解决问题，同时也是以后在进行轨迹规划研究时的重难点。

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[编辑] 张涛

2016-07-26

国家自然科学基金项目(51575407)。

孙瑛(1965-)，女，硕士，副教授，现主要从事机械工程方面的教学与研究工作；E-mail: 154072471@qq.com。

TP242

A

1673-1409(2016)28-0032-07

[引著格式]孙瑛，程文韬，李公法，等.关节型机器人轨迹规划算法及轨迹规划研究现状[J].长江大学学报(自科版)，2016,13(28)：32～38.