非零初始条件线性系统的Legendre多项式模型降阶方法

宋秋艳,宋述刚

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)



非零初始条件线性系统的Legendre多项式模型降阶方法

宋秋艳,宋述刚

(长江大学信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

讨论了非零初始条件下线性系统的模型降阶问题，并给出了一种基于Legendre正交多项式的时间域模型降阶算法。该方法首先将系统的状态变量在正交多项式空间中进行展开，然后由状态方程得到展开系数的简单递推式，接着对其正交化，求得投影矩阵，通过正交投影变换得到降阶系统。由该方法得到的降阶系统可以匹配原始系统输出变量一定数量的正交多项式展开系数，从而保证了降阶的精度。最后，通过2个数值算例验证了该算法的有效性。

模型降阶；Legendre多项式；投影方法

模型降阶这一思想到现在已有40多年的历史。简而言之，模型降阶就是在某种情况下将一个较大的复杂系统转化为一个近似的较小系统的过程。模型降阶是一种有效的降低动力系统复杂性的技术。该类技术能够减少数据的存储量和运算量，降低大型复杂系统的理论分析难度，加速系统的模拟计算，同时在一定的误差范围内保持系统的某些重要属性。模型降阶方法已被成功地应用于许多工程应用领域和其他学科的分支中，如大规模集成电路模拟、自动化控制和机械工程等[1～3]。自模型降阶方法被提出以来，已经发展出多种方法，其中最主要的2类分别是Krylov子空间类方法和基于奇异值分解的平衡截断模型降价方法。

Krylov子空间方法是投影类模型降阶方法，该类方法数值稳定，算法实现简单，并且计算量较小，受到很多科技工作者的青睐，但其没有比较理想的误差估计结果；平衡截断模型降阶方法可以直接得到降阶模型的误差估计结果，并能保持系统的稳定性，但是该类方法在降阶过程中需要求解大规模的Lyapunov方程，运算量较大，计算复杂度比较高，制约其应用的广泛性。近些年来，由平衡截断方法与投影类方法结合形成新型模型降阶方法成为研究热点之一。

近年来，基于正交多项式(包括Chebyshev正交多项式、Legendre正交多项式和Laguerre正交多项式等)的模型降阶方法也受到了广泛的关注。这类算法的核心思想是首先将系统的状态变量在以正交多项式为基底的空间中进行展开，然后由系统的状态方程求得状态变量的多项式展开系数，最后通过该展开系数构造标准列正交矩阵对原始系统进行降阶。由此得到的降阶系统一般都能够匹配原始系统的输出函数在正交多项式张成的空间中一定数量的展开系数。该类方法是一种时间域模型降阶方法，已被成功地应用于线性系统、非线性系统以及一些特殊结构系统的模型降阶中[4～7]。

传统的模型降阶方法，在降阶过程中一般都只考虑系统的输入输出性态，忽略初始条件的影响，或者为了简便假设初始条件为零，这样，使得原始系统的初始信息遭到破坏，给降阶系统带来不可预测的结果[8, 9]。因此，传统的模型降阶方法对非零初始条件的系统一般不太适用。基于此，笔者针对非零初始条件的线性系统，提出一种基于Legendre正交多项式的时间域模型降阶方法。

1 Legendre正交多项式

定义1 多项式:

称为Legendre多项式。

性质1 Legendre多项式在区间[-1,1]上满足如下正交性：

性质2 对Legendre多项式，递推公式(1)成立：

(1)

其中, P0(t)=1,P1(t)=t。

Legendre多项式Pi(t)可以展开为如下的幂级数:

(2)

式中, fij为幂级数tj的展开系数。

将式(2)带入式(1)，可得:

(3)

比较式(3)两边关于t的各次幂的系数，可得：

任意一个可积函数x(t)均可以在Legendre正交多项式基底下近似展开：

(4)

由文献[10] 可知，可测函数的正交多项式展开在Lebesgue意义下是一致收敛的，且正交多项式的近似展开在最小平方误差意义下是最优的，因此，相对低价的正交多项式近似可以达到较高的精度。

可以将最小二乘法与Legendre正交多项式相结合来计算函数x(t)的幂级数展开系数xi。将式(2)代入到(4)中，比较两边t的各次幂的系数，有:

其中, αj的值可由Legendre多项式的正交性求得:

在实际应用中，可以用文献[11] 中复杂度为O(NlogN)的快速算法来计算函数x(t)的前N个Legendre正交多项式展开系数。

2 基本算法

下面，笔者将给出非零初始条件下线性系统的基于Legendre正交多项式的模型降阶方法的具体过程。

考虑如下单输入单输出线性系统：

(5)

其中, A∈Rn×n;b,c∈Rn;x(t)∈Rn为系统的状态变量; u(t),y(t)∈R分别是系统的输入变量和输出变量;n为系统的维数。

为得到原始系统(5)的降阶系统，首先将系统的状态变量x(t)和输入变量u(t)近似展开为：

(6)

(7)

其中,hi∈Rn,ui∈R分别为x(t)和u(t)的展开系数向量。

将式(6)和(7)代入式(5)，有:

整理得:

比较两端常数项和ti(i=1,2,…,r-2)所对应的系数，并忽略高阶项tr-1，最终可得:

(8)

式中,h0为给定的初始条件x0。

由递推式(8)便可求得状态变量x(t)的展开系数向量hi(i=1,2,…,r-1)。

(9)

3 数值算例

下面，笔者通过2个数值算例来验证上述模型降阶方法的有效性。

例1 考察一个实际的大气风暴轨迹的地球大气模型[3]，由形如系统(5)的598阶微分动力系统来描述，其初始条件为x0=[0,0,…,0,1]T。

对该系统采用基于Legendre正交多项式的模型降阶方法降至16阶，原始系统与降阶系统关于输入函数u(t)=e-0.5tsin10t的瞬态响应及其相应的误差如图1、图2所示。

图1 例1的瞬态响应

图2 例1中降阶模型的相对误差

例2 考虑形如系统(5)的1006阶微分动力系统[3]，其中:

A=diag{A1,A2,A3,A4}

A3=diag{-1,-2,…,-1000}

对该系统采用基于Legendre正交多项式的模型降阶方法降至20阶，原始系统与降阶系统关于输入函数u(t)=sint的瞬态响应及其相应的误差如图3、图4所示。

图3 例2的瞬态响应

图4 例2中降阶系统的绝对误差

由以上2个数值算例的模拟结果可以看出，基于Legendre正交多项式的模型降阶方法得到的低阶模型对原始模型有很好的近似效果。由于考虑了初始条件，该方法对于非零初始条件的线性系统是有效的。

4 结语

传统的模型降阶方法往往忽略初始条件，使得降阶模型的精度无法保证。针对带非零初始条件的线性系统，提出了一种基于Legendre正交多项式的模型降阶方法。该方法不仅考虑了初始条件，并且降阶过程简单高效，数值算例验证了该方法的有效性。基于正交多项式的模型降阶方法是一类时间域的模型降阶方法，该类方法一般与系统的输入函数有关，如何削弱该类方法对输入函数的依赖性，扩展其应用是值得进一步研究的问题。

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[编辑] 洪云飞

2016-06-26

国家自然科学基金项目(11201039)。

宋秋艳(1989-)，女，硕士生，现主要从事应用数学方面的研究工作；通信作者：宋述刚，教授，2712281782@qq.com。

O231

A

1673-1409(2016)28-0001-05

[引著格式]宋秋艳,宋述刚.非零初始条件线性系统的Legendre多项式模型降阶方法[J].长江大学学报(自科版)，2016,13(28)：1～5.