具有抗体免疫时滞的HIV病毒动力学模型的稳定性和Hopf分支

王 沙，罗 勇，胡亦郑

（温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035）

具有抗体免疫时滞的HIV病毒动力学模型的稳定性和Hopf分支

王 沙，罗 勇†，胡亦郑

（温州大学数学与信息科学学院，浙江温州 325035）

利用微分方程理论，对一类非线性的具有抗体免疫时滞的HIV病毒感染模型进行了研究，得到了系统的平衡点，证明了系统边界平衡点的全局渐近稳定性和正平衡点的局部渐进稳定性，并且给出了Hopf分支存在的条件.

平衡点；稳定性；Lyapunov函数；Hopf分支

具有免疫反应和时滞的病毒动力学模型能够更好地描述病毒感染过程中病毒的变化趋势，因而受到许多学者的青睐［1-5］.王开发等在文献［6］中研究了一类具有CTL免疫反应和时滞的病毒动力学模型：

式中x（t），y（t），z（t）分别表示易感染细胞在t时刻的数量、病毒粒子t时刻的数量和CTL免疫反应在t时刻的浓度.通过Lyapunov-LaSalle原理得到无病平衡点E0的全局渐近稳定性，并且得到了免疫平衡点E1全局渐近稳定的充分条件.

1 模型的建立

考虑病毒感染机体中的易感染细胞时，应考虑到除了CTL免疫反应会被激活以外抗体免疫反应也会发生作用.本文考虑一类如系统（1）的具有抗体免疫反应和免疫时滞的HIV病毒模型：式中x（t），y（t），v（t），w（t）分别表示未感染细胞、已感染细胞、HIV病毒和抗体免疫反应在t时刻的浓度，并且（1）中所有的参数均为正值，λ表示易感染细胞的出生率，d表示未感染细胞的死亡率，β表示易感染细胞被病毒感染的速率，a表示已感染细胞的死亡率，Na表示已感染细胞释放病毒的比率，u表示病毒粒子的死亡率，q表示病毒粒子被抗体免疫反应消除的比率，c表示CTL免疫反应被病毒粒子激活的速率，b表示CTL免疫反应的消退速率.

假设抗体免疫反应被激活且与未感染细胞、病毒粒子和自身的浓度均有关系［5］.分析得出了模型的平衡点的存在性和稳定性，并给出了Hopf分支存在的条件.

2 非负性与有界性

易知系统（1）的满足初始条件的解x（t），y（t），v（t），w（t）是唯一存在的.另x（t），y（t），v（t），w（t）为系统（1）的满足初始条件的任意解.在证明解的正性和有界性之前，先给出下面这个引理.

证毕.

定理1 令（x（t），y（t），v（t），w（t））为（1）满足初始条件的任意解，那么x（t），y（t），v（t），w（t）均为正的，而且存在M＞0，当t趋向于无穷大时，有x（t）＜M，y（t）＜M，v（t）＜M，w（t）＜M.

证明：由系统（1），可知

容易知道x（t）在存在区间上为正的.接下来，证明y（t）也为正的.事实上，令t1＞0为第一个满

另一方面，y˙（t1）=βx（t1）v（t1）＞0，这意味着y（t）＜0，对于t∈（t1-ξ，t1），其中ξ为一个任意小的正常数，矛盾，因此y（t），v（t）也为正的.同理可知，w（t）在存在区间上也为正的.

3 稳定性分析

其中（3）的两个特征根为1bλ=-，2dλ=-，其余的两个根由下面这个方程给出：

可见，当01R＜时，由Routh-Hurwitz准则可知，（4）的所有根均有负实部.

证毕.

当01R＜时，通过构造Lyapunov函数，还可以得到0E是全局渐近稳定的.

定理3 若01R＜，0E是全局渐近稳定的.

证明：构造Lyapunov函数如下：

由时滞微分方程理论可知，若（10）的平凡解是渐近稳定的，则（9）的平凡解是局部渐近稳定的.（10）的平凡解的稳定性，由其相应的特征方程的根的实部决定.系统（10）的特征方程为：

证明：当0τ=时，（11）整理为：

从而有40D＞.由Routh-Hurwitz准则可知，（11）的所有根均有负实部.

证毕.

由该定理可知，当τ=0时，H（s）=0的所有根均有负实部，而H（s）=0的根对参数具有连续依赖性，因此，必然存在τ0＞0，当τ∈（0，τ0）时，H（s）=0的所有根均满足Re（τ）＜0，其中当τ=τ0时，Re（τ）=0.为了求出τ0，假设H（s）=0有一对纯虚根w0i（w0＞0），接下来把w0i代入H（s）=0中，为了符号简便，用τ，w代替τ0，w0得到下面的方程：

对于未知的系数，（16）的解是求不出的，但是，对于已知的系数，通过计算机软件的辅助，其解肯定可以求出.首先，若B4≠0，则σ=0不是（16）的根；其次，假设（16）无正实根，那么，分支参数τ也不存在，在这种情况下，是不可能存在Hopf分支的；最后，假设系统（16）总有正实根.

从而，当τ逐渐增大至τ0时，方程（10）的特征根具有负实部，当τ=τ0时，（10）有一对纯虚根，其它的根均有负实部.最后，可以得到下面的定理：

定理6 对于系统（9），当（T1），（T2）满足时，若τ∈［0，τ0）时，E2是局部渐近稳定的；若τ＞τ0，E2是不稳定的，并且当τ=τ0时，（5）在E2处会出现Hopf分支.

4 结 论

［1］ Zhu H Y， Luo Y， Chen M L. Stability and Hopf bifurcation of a HIV infection model with CTL-response delay ［J］. Computers and Mathematics with Applications， 2011， 62： 3091-3102.

［2］ Wang X， Liu S. A class of delayed viral models with saturation infection rate and immune response ［J］. Mathematical Methods in the Applied Sciences， 2013， 36（2）： 125-142.

［3］ Wang S F， Zou D Y. Global stability of in-host viral models with humeral immunity and intracellular delays ［J］.Applied Mathematical Modelling， 2012， 36： 1313-1322.

［4］ Wang T L， Hu Z X， Liao F C. Stability and Hopf bifurcation for a virus infection model with delayed humeral immunity response ［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2014， 411： 63-74.

［5］ Zhu H Y. Dynamics of a HIV-1 infection model with cell-mediated immune response and intracellular delay ［J］. Discrete and continuous dynamical systems： series B， 2009， 12： 511-524.

［6］ Wang K F， Wang W D， Pang H Y， et al. Complex dynamic behavior in a viral model with delayed immune response ［J］. Science Direct： physica D， 2007， 226： 197-208.

The Study of Stability and Hopf Bifurcation for HIV Infection Model with Antiserum Immune Time-lag

WANG Sha， LUO Yong， HU Yizheng
（College of Mathematics and Information Science， Wenzhou University， Wenzhou， China 325035）

By means of the differential equation theory， a class of nonlinear HIV infection model with antiserum immune time-lag is studied in this paper. The existence of equilibrium of this system is obtained. It turns out that the global dynamics of epidemic equilibrium and the local dynamics of boundary equilibrium is solved. In the end， the existing condition of Hopf bifurcation with this model is given from the test.

Equilibrium Point； Stability； Lyapunov Function； Hopf Bifurcation

O193

A

1674-3563（2016）03-0006-09

10.3875/j.issn.1674-3563.2016.03.002 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

（编辑：王一芳）

2015-06-10

王沙（1989- ），女，河南安阳人，硕士研究生，研究方向：微分方程与生物数学.† 通讯作者，987843729@qq.com