一类分数阶Schrödinger-Possion方程组的Pohozaev等式*

杨敏波,郑 雨

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)



一类分数阶Schrödinger-Possion方程组的Pohozaev等式*

杨敏波,郑 雨

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

建立了一类分数阶Schrödinger-Possion方程组的Pohozaev等式,利用临界点理论的方法，把一类分数阶Schrödinger-Possion方程组问题转化为具有非线性Neumann边值条件的椭圆方程组的问题，从而改进了经典的半线性情形的相应结论.

Schrödinger-Possion方程组;Pohozaev等式;分数阶Laplace算子;变分法

0 引 言

近年来,分数阶Schrödinger-Possion方程组解的存在性问题引起了很多学者的关注,这类问题有着深刻的物理背景,例如:反常扩散问题、晶体脱位问题、软薄膜问题、半透膜问题和水波问题等.

在证明方程组解的存在性过程中,建立方程组的Pohozaev等式是一件十分重要的工作[1-5].本文的目的是建立方程组

(1)

的Pohozaev等式.

(2)

令

(3)

并考虑方程组

(4)

由方程(3)中T的定义知,此时方程组(1)等价于以下问题：

(5)

则方程的解对应着泛函的临界点.

本文的主要结论是以下定理:

其中:X=(x,xN+1);x=(x1,x2,…,xN)∈RN.

1 一些概念及引理

为证明分数阶Schrödinger-Possion方程组的Pohozaev等式,首先需要证明此类分数阶非局部方程解的正则性.有关正则性证明可参考文献[1]中的命题3.9.

∫△R(-Δv(X·v)v|2dX+∫bRvN+1

(6)

∫△Rv(X·v)

(7)

∫bRg(v)(x·v)dx=-N∫bRG(v)dx+R∫∂bRg(v)dτ.

(8)

证明 如果令i∈{1,2,…,N+1}，并定义∂△R的外法向量为ν,那么

即

(9)

对任意i,j∈{1,2,…,N+1},通过格林公式可得

对i∈{1,2,…,N+1}求和，利用式(9)可证得式(7).

若将积分区域△R替换为bR,则对任意i∈{1,2,…,N},有

对i∈{1,2,…,N}求和,利用式(9)可证得式(8).引理2证毕.

∫bRvφ(x·v)φφτ.

(10)

证明 对∀v∈H1(RN),存在唯一的φ∈D1,2(RN),使得

(11)

即φ是方程-Δφ=4πv2在RN中的唯一解.详见文献[3]

利用引理1，将积分区域△R替换为bR可得(详细证明见文献[5]引理3.1)

(12)

(13)

由方程(11)可得

(14)

由方程(12)～方程(14)可知结论成立.引理 3证毕.

引理4[4]如果v∈H1(RN),那么存在一序列{Rn},Rn→∞,当n→∞时,有

引理5 若v∈H1(RN),则

证明 根据引理3和引理4可得

由于φ是方程(11)在D1(RN)中的解，所以

综上所述，即在边界所求的积分趋向0.引理 5证毕.

2 定理1的证明

定理1的证明 将方程组(5)的第1个方程乘以x·v在△R上的积分，可得

(15)

由方程组(5)中的第2个方程的边界条件得

利用引理1和引理2可得

定理1证毕.

Pohozaev等式是由Pohozaev在讨论Dirichlet问题时发现的一个重要的恒等式,它在研究没有非平凡解的方程中具有重要的作用.近几十年来,很多人研究Pohozaev等式.例如:文献[6]考虑了一般的半线性椭圆方程的Pohozaev等式;文献[7]证明了拟线性偏微分方程的Pohozaev等式等.所以,研究本文方程组(5)的Pohozaev等式具有重要的意义.

[1]VittorioCotiZ,MargheritaN.Existenceofgroundstatesfornonlinear,pseudo-relativisticSchrödingerequations[J].MatAppl,2011,22(1):51-72.

[2]AzzolliniA,D′AveniaP,PomponioA.OntheSchrödinger-maxwellequationsundertheeffectofageneralnonlinearterm[J].AnnInstHPoincaréAnalNonLinéaire,2010,27(2):779-791.

[3]D′AprileT,MugnaiD.Non-existenceresultsforthecoupledKlein-Gordon-Maxwellequations[J].AdvNonlinearStud,2004,4(3):307-322.

[4]D′AprileT,MugnaiD.SolitarywavesfornonlinearKlein-Gordon-MaxwellandSchrödinger-Maxwellequations[J].ProcRoySocEdinburghSectA,2004,134(5):893-906.

[5]ChangXiaojun,WangZhiqiang.GroundstateofstateofscalarfieldequationsinvolvingafractionalLaplacianwithgeneralnonlinearity[J].Nonlinearity,2013,26(2):479-494.

[6]NiWeiming.UniquenessofsolutionsofnonlinearDirichletproblems[J].JDierentialEqu,1983,50(2):289-304.

[7]GhoussoubN,YuanChaoqui.Multiplesolutionsforquasi-linearPDEsinvolvingthecriticalSobolevandHardyexponents[J].TransAmerMathSoc,2000,352(12):479-494.

(责任编辑 陶立方)

The Pohozaev identity for fractional Schrödinger-Possion system

YANG Minbo,ZHENG Yu

(CollegeofMathematics,PhysicsandInformationEngineering,ZhejiangNormalUniversity,Jinhua321004,China)

The Pohozaev type identity for the system of fractional Schrödinger-Possion type was studied.By the critical point theory,a kind of fractional Schrödinger-Possion equations problem was transformed to the problem of elliptic equations with nonlinear Neumann boundary conditions.The results improved the corresponding ones for the classical semilinear case.

Schrödinger-Possion system; Pohozaev identity; fractional Laplace; variational method

10.16218/j.issn.1001-5051.2016.01.006

��2015-06-23；

2015-10-27

国家自然科学基金资助项目(11271331)

杨敏波(1979-),男,浙江杭州人,副教授.研究方向：非线性泛函分析.

O175.25

A

1001-5051(2016)01-034-04