“多边形内角和”教学设计（探究式教学法）

王陆生

一、教学目标

知识与技能：掌握多边形内角和公式；

过程与方法：在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；

情感、态度与价值观：体会数学与现实生活的联系，增强学习的信心.

二、教学重点

多边形内角和公式的理解和掌握.

三、教学难点

应用多边形内角和公式解决数学问题.

四、教学工具

备用图形、课件、课后练习、实物投影.

五、教学方法（探究式教学法）

根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，采用启发式、探究式教学方法，帮助学生通过观察和动手，从实践中获得知识.整个探究学习的过程充满了师生之间、学生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者，而学生才是学习的主体.

六、学习方法

利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探究和合作交流中理解和掌握本节课的内容.

七、教学过程

（一）师生对话、合作交流

1. 精选知识点

多边形内角和公式：（n-2）×180°

探究与方法：①教材探究法；②对角线法；③一边取点法；④内部取点法；⑤外部取点法.

师生共同探究第一种方法：教材探究法；留出时间让学生探究其他四种方法；分组讨论与合作交流.

2. 情境创设点

借助三角形内角和为180°提出问题，第一步：长方形内角和是多少？第二步：正方形内角和是多少？第三步：一般四边形内角和是多少？

师生互动：共同完成对一般四边形的内角和探讨.针对三角形内角和为180°，在解决四边形问题时经常用到，也是证明多边形内角和的基本依据.在此之前，对三角形的内角和为180°已经进行过详细的证明，例如：平角法、互补法、周角分半法等证明三角形的内角和.

3. 新知切入点

三角形的内角和是多少？你能说出长方形和正方形的内角和是多少吗？

多边形内角和公式（n-2）×180°包含三个层次：一是借用三角形内角和完成证明过程；二是一般四边形的内角和为360°；三是通过四边形的内角和推导出多边形的内角和公式.

问题探究：（教材八上，21页思考部分）

我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于360°，那么，任意一个四边形的内角和是否都等于360°呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？

方法一：教材探究法

连接任意一条对角线（图1），把四边形分成两个三角形（教师示范讲解）.

教师在示范的基础上，讲解其他可能的证法，引导学生去思考，分组进行合作交流，每个小组派代表到黑板上画图，边讲解探究思路，边书写证明步骤.这培养了学生的实践能力，探究能力，合作交流能力，语言表达能力等数学素养，这也是我这堂课选择探究教学法的原因所在.下面是学生的探究过程和基本思路.

方法二：（学生甲）对角线法

连接两条对角线（如图2），分成四个三角形.

方法三：（学生乙）一边取点法

在四边形的任意一边上取一点，连接各顶点（图3），分割成三个三角形.

方法四：（学生丙）内部取点法

在四边形内部任意取一点，连接各顶点（图4），组成三角形，问题解决.

方法五：（学生丁）外部取点法

在四边形的外部任意取一点，连接各顶点（图5），组成三角形，问题解决.

问题分析与引领：所有证明方法都根据三角形内角和为180°来解决，根据所分割的三角形个数不同，计算的原理也不同，但最终所得到的结论是相同的，即四边形内角和为360°.做辅助线的方法与思维过程是难点，如何突破难点是这节课的难关.学生对于四边形内角和有了认识，利用三角形的内角和是解决问题的突破口.

定义：多边形的内角和为：（n-2）×180°

例1（教材22页）已知：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

解：如上图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°

∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°，

∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=360°-180°=180°.

这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.

例2：（教材23页）在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？

根据学生情况及课堂时间的调控，可选择两种方法给予证明、讲解.（此题作为备用）

此处可选习题：十二边形的内角和是多少？一个多边形的内角和是2 700°，求这个多边形的边数.

借助动画展示让学生更好地理解外角的度数.身体转动的度数正好是一周，一周正好是360°.体现数学来源于生活，应用于生活，从身边的实际例子入手解决数学问题.（根据课堂时间情况，也可以将其作为下节课研究内容）

多边形内角和公式：（n-2）×180°

利用三角形的内角和与四边形的内角和解决了多边形内角和问题，使学生对多边形有了新的认识，同时，学生对于辅助线的作法与表达也有了很大的突破，不同学生有不同的收获.

对于一题多解、一题多变、一题多想的数学思想，学生还有待于加强，在今后的学习中多练、多讲，提高学生的应变能力.

本节课涉及到的引辅助线的方法，可以概括称为“构造三角形”法，在以后的学习中还会用到.

（二）新知检测题（略）

八、教学反思

（一）问题设计的有效性

1.所设计的问题应遵循规律，成为感知数学的一种方法.

三角形内角和的求证方法是通过数学的转化思想，把三角形的三个角转移到一个平角或互补的情况中，让学生从最原始的状态了解数学、理解方法.在此基础上探究四边形的内角和，体现问题设计的有效性.

2.所设计的问题应贴近生活，成为体验数学的一种工具.

长方形、正方形是学生所熟悉的图形，贴近生活，能够调动学生的主动性，达到解决问题的目的.

（二）探究性学习的有效性

1.创设有效的探究氛围；2.构建有效的探究平台；3.明晰有效的探究过程.探究四边形内角和就是给学生探究问题的空间，通过合作与交流得出一般四边形内角和的求证方法.所选取的点的位置不同，解题的方法也不同，学生通过积极思考点的位置关系，形成全体参与的平台.

（三）对学生思维培养的有效性

1.精心设置悬念，促成思维定向；2.调动多种感官，推动思维训练；3.强化整体训练，培养双向思维；4.发挥主导作用，把握思维方向.确定多边形的内角和公式的方法仍然是解决四边形问题的一种方法，让学生从不同角度，不同渠道去思考、去探究，达到学习数学的目的.

整节课虽然让学生通过动手操作体验了多边形内角和定理的形成过程，但在具体的课堂实施时还存在一些不足：1.本节课过多着眼于课堂形式的多样化及学生能力（如合作、探究、交流等）的培养，而忽视了教学中最重要的知识点的落实.学生做练习题的机会不多，时间偏少.学生没有板演的机会.2.虽然本着以学生为本的原则，但是没有兼顾个体差异，基础较弱的学生也许不能真正理解并运用多种方法求多边形的内角和的思想.