函数能力型问题的类型及其解题策略

王晓宇

摘要：这里介绍的函数能力型问题是指学习新的数学知识的能力，探索数学问题的能力，数学创新能力。这些能力能体现对问题的领悟过程，基于实践，笔者总结出了相应的解决问题的应对策略。

关键词：学习；探索；创新；能力；策略

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）20-059-2一、学习能力问题

学习新的数学知识的能力是指通过阅读、理解以前没有学过的新的数学知识，包括新的概念、定理、公式、法则和方法，并能应用它们作进一步的运算和推理，解决有关问题的能力。这类问题的解题策略是先阅读题目，理解所给的新定义、新概念、新运算，在新的情景中的意义，然后类比所学知识，转化为熟悉的知识解决。

例1对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足：①f（x）在区间[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”。

（1）求证：函数y=g（x）=3-5x不存在“和谐区间”；

（2）已知函数y=（a2+a）x-1a2x（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n-m的最大值；

解：（1）设[m，n]是已知函数定义域的子集，因为x≠0，[m，n]（-∞，0）或[m，n]（0，+∞），故函数y=g（x）=3-5x在[m，n]上单调递增。若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则g（m）=m，

g（n）=n.故m，n是方程3-5x=x的同号的相异实数根。因为x2-3x+5=0无实数根，所以函数y=g（x）=3-5x不存在“和谐区间”。

（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集，因为x≠0，[m，n]（-∞，0）或[m，n]（0，+∞），故函数y=（a2+a）x-1a2x=a+1a-1a2x在[m，n]上单调递增。若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则g（m）=m，

g（n）=n.故m，n是方程a+1a-1a2x=x，即a2x2-（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根，因为mn=1a2>0，所以m，n同号，只须Δ=a2（a+3）（a-1）>0，即a>1或a<-3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，因为n-m=（m+n）2-4mn=-3（1a-13）2+43，故当a=3时，n-m取得最大值233。

说明：对“和谐区间”的领悟是解题的关键。在（1）的体验后，（2）又作了铺垫，并借助“和谐区间”解决问题。这里是将“和谐区间”转化为方程组g（m）=m，

g（n）=n.问题解决。学习能力型问题它的特点是通过阅读理解，将“新知识”转化为熟悉的知识解决相关问题。

二、探究能力问题

数学中的探究问题，是指命题中缺少一定的条件或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以证明的问题。由于这类问题的知识覆盖面大，综合性强，方法灵活，再加上题意新颖，要求考生具有扎实的基础知识和较高的数学能力。解决这类问题需要运用学过的知识，通过观察、试验、联想、类比、演绎、归纳、分析、综合、猜想等手段，对问题进行探索和研究。

例2对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b，使得h（x）=a·f1（x）+b·f2（x），那么h（x）为f1（x），f2（x）的生成函数。

（1）下面给出两组函数，h（x）是否为f1（x），f2（x）的生成函数？并说明理由。

第一组：f1（x）=lgx10，f2（x）=lg10x，h（x）=lgx；

第二组：f1（x）=x2+x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2-x+1；

（2）设f1（x）=log2x，f2（x）=log12x，a=2，b=1，生成函数h（x）。若不等式3h2（x）+2h（x）+t<0在[2，4]上有解，求实数t的取值范围。

解：（1）①由题意，得algx10+blg10x=lgx，即（a+b）lgx+（-a+b）=lgx，所以a+b=1，

-a+b=0.解得a=b=12，所以h（x）是f1（x），f2（x）的生成函数。

②设a（x2+x）+b（x2+x+1）=x2-x+1，即（a+b）x2+（a+b）x+b=x2-x+1，则a+b=1，

a+b=-1，

b=1.该方程组无解，以h（x）不是f1（x），f2（x）的生成函数。

（2）h（x）=2f1（x）+f2（x）=2log2x+log12x=log2x，因为不等式3h2（x）+2h（x）+t<0在x∈[2，4]上有解，所以t<-3h2（x）-2h（x）=-（log2x）2-2log2x在x∈[2，4]上有解。设s=log2x，则s∈[1，2]。设y=-（log2x）2-2log2x=-3s2-2，则当s=1时，ymax=-5，所以实数t的取值范围是t∈（-∞，-5）。

说明：数学探究题涉及的数学知识较多，解题过程较复杂，技巧性强，因此，要求我们要合情合理地分析，把直觉发现与逻辑推理相结合，更应该注重数学思想方法的综合运用。解此类问题的方法是：分析问题的特征——假设存在——演绎推理——得出

结论。

三、创新能力问题

数学创新能力一般是指对已经掌握的数学知识、方法进行推广拓展，对未知的数学领域通过探索得到新的结果的能力。常见类型有类比分析型，拓展推广型和设计构造型。

例3已知函数y=x+ax有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在（0，a]上是减函数，在[a，+∞）上是增函数。

（1）如果函数y=x+2bx（x>0）的值域为[6，+∞），求b的值；（2）研究函数y=x2+cx2（c>0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数y=x+ax和y=x2+ax2（a>0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明）

解：（1）根据题意，函数y=x+2bx（x>0）的最小值是22b，则22b=6，所以b=log29。

（2）设0y1，函数y=x2+cx2在[4c，+∞）上是增函数；当0

（3）可以把函数推广为y=xn+axn（a>0），其中n是正整数。

①当n是奇数时，函数y=xn+axn在（0，2na]上是减函数，在[2na，+∞）上是增函数，在（-∞，-2na]上是增函数，在[-2na，0）上是减函数；

②当n是偶数时，函数y=xn+axn在（0，2na]上是减函数，在[2na，+∞）上是增函数，在（-∞，-2na]上是减函数，在[-2na，0）上是增函数。

说明：函数y=xn+axn（a>0），其中n是正整数，显然当n是偶数与奇数时其性质是不相同的，因此在探索“类似”性质时，应该考虑其不同之处，由“不同之处”适当“修正”对应的结果。利用类比推理可以推测未知，发现新结论，寻找解决问题的思路和方法。因此在解决某些问题时，若能合理地运用类比推理，可以帮助我们解决相关问题。而应用推广拓展的手段可以发现新命题。也就是通过扩大命题中有关对象的范围，或扩大命题结论的范围来得到新的定理、公式或性质。

能力型问题旨在考查学生的阅读、分析、归纳、概括和自学能力。因此在解题时，必须注意：阅读定义、定理和公式时要理解其中的因果关系；阅读解题过程时，在看懂过程的同时要注重内蕴的数学思想方法；在方法模拟问题中，要注意迁移发展，探索创新。