基于有限元网格划分的城市道路网建模

王 元， 刘 华， 李 航

(武汉大学城市设计学院，湖北 武汉 430072)

基于有限元网格划分的城市道路网建模

王 元， 刘 华， 李 航

(武汉大学城市设计学院，湖北 武汉 430072)

从城市功能分区出发，提出利用有限元网格划分思想，结合城市各分区中的道路特点对城市区域进行剖分，形成城市的支路网。根据城市规划知识中对各等级道路的性质及道路间距，从已生成支路网中定义并提取出城市主干路和次干路，最后完成对城市各等级道路网的过程式建模研究工作。该方法将城市路网的分级建模与城市土地利用、功能分区和各等级路网性质结合，使之形成的城市道路网更符合实际城市规划中对道路网的要求。

路网建模；有限元；功能分区；道路分级

城市是一个复杂的社会产物，城市建模是属于计算机图形学的一个概念，也是图形学应用于城市规划与建筑设计的热点方向。早期的建模主要是通过CAD、3dsmax等软件来构建城市场景，但随着摄影测量技术和图形学的发展，出现了基于图像的城市建模以及基于规则驱动的过程式建模两种技术。几何造型和二维图像的建模需要大量的交互操作和人工干预，摄影图像数据的获取也较困难，从城市建模低成本和快速高效的需求出发，基于规则驱动的城市过程式建模正逐渐成为研究的热点。从建模内容看，建筑物作为城市的建模主体，经过长久的发展已趋于完善，而关于路网、桥梁以及风雨建模等逐渐成为新的研究重点[1]。城市道路网是城市建模中的首要步骤，也是关键问题，在城市规划中，路网的形态与城市功能分区是相辅相成的，其不规则性和演变的多因素性，造成路网建模研究仍然是一项具有挑战的课题。

有限元方法作为数值计算工具，主要用于工程计算中。有限元网格划分是将计算对象进行离散的过程，是数值模拟分析的第一步也是至关重要的一步，并直接影响着计算结果的精确性，关于有限元网格生成方法主要有Delaunay法、前沿推进法(advancing front technique，AFT)和笛卡尔网格法等[2-4]。在网格划分时，为了提高结果的精确性，计算对象的边界和应力集中区域等往往会进行相关的调整优化处理。本文基于城市规划中的用地功能分区，将有限元网格划分方法和网格处理规则引入城市区域剖分中，生成城市的支路网，再结合规划中各级道路的相关性质，从已生成的支路网中分别定义并提取城市主干路和次干路，从而完成对城市各等级路网的建模工作。

1 城市路网生成的相关研究工作

关于城市路网自动生成，最为经典的是基于L系统来构建城市路网。Parish和Müller[5]最先于2001年将L系统引入路网的建模中，根据水系、人口密度等约束，利用路网扩展规则归纳出方格、放射、分支3种道路模式；王丽英[6]结合L系统和道路风格样本统计，提出了一种基于统计数据规则的道路延伸算法；薛峰等[7]加入地形的高程信息，提出基于L系统在复杂地形条件下的城市街道生成方法，并通过映射算法生成有高低起伏的路网。

在城市路网的建模方法中，也有采用数学模型的思想来构建道路的形状规则。Chen等[8]提出的基于张量场的数学模型方法具有很强的创新性，将水系、植被以及人口密度作为约束，利用张量来控制道路的走向；Sun等[9-10]在基于人口的路网形态建模中引入Voronoi图的思想，将人口密度点作为Voronoi图中的点，把多边形的边看成道路，形成人口密度因素与路网密度有效结合的路网；Glass等[11]同时利用Voronoi图、多边形细分和L系统混合控制的方式产生道路网，并将结果与约翰内斯堡和开普敦两个城市的道路网进行比较，总结出3种方法的混合方式可以产生更接近实际的道路网。

在其他路网建模研究中，刘波[12]提出一种较为简单高效的方法，在城市范围均匀布下种子点，每个点确定为一个路口，并与周围的点确立连接关系，并通过适当扰动生成栅格化风格的路网；Banf等[13]提出在一个区域进行二叉树剖分算法来形成道路网，并通过设置道路的最小长度来终止递归细分。

基于扩展L系统的方法虽能快速地构建城市路网，但是并没有真正处理城市功能分区，也没有考虑土地利用的问题，并且预先设定的规则有限，如果结果不满足用户需求，就需要重新设定规则。利用张量场控制城市路网走向，能方便的通过修改张量场影响最后的路网形态，总体来说适合依据地形和环境特点来生成城市路网。现有的研究中大部分都只是单纯的从路网自身形态来考虑，对于约束条件的选择局限于水系或人口密度，而忽视了城市规划中影响路网等级分配和密度重要的一个因素——用地功能分区，本文将城市功能分区和城市各等级道路性质相结合，充分考虑道路规划中可量化的指标来对城市路网进行建模研究。

2 城市道路特点与用地功能分区

根据各个城市的实际情况，城市道路一般分快速路、主干路、次干路和支路 4类，各等级道路相关配置如表 1所示。城市道路网结构一般有方格网式、环形放射式和自由式 3种基本类型，如图所示1，另还有混合式和组团式2种。

表1 城市道路分级配置表

图1 3种道路网结构基本类型

城市路网的形态布局，应根据土地利用、交通流量等因素，并结合河流走向、地形和原有道路确定，各级道路网的规划应与城市功能分区结合，从而引导城市合理发展[14]。目前各功能分区主要分为商业用地、居住用地、工业用地和绿化用地，其特点是：①商业区路网限于空间轮廓和建筑机理，多为规整的方格路网，且商业区容积率较高，要求道路的可达性较好，对低等级道路的需求要高于其他分区；②居住区的用地布局也以方格网式为主，住宅依次布置排列；③工业区集中了较多的工厂与企业，交通需求的规律性较强，因此也采用方格网，便于各种线路布设，工业区内支路密度会较低，而次干路密度需视工业种类而定[15]。

不同的城市功能分区，各级道路密度和道路级配的一般规律为：①在各功能分区内部，路网的布局形式都以方格网式为主；②主干路密度在各功能分区相差不大；③次干路和支路密度：商业区＞居住区＞工业区。

3 城市分级路网过程式建模

3.1 本文方法流程

建模的方法流程如图2所示，主要分4个步骤：①结合水系边界图和城市功能分区，使用有限元网格划分和相关规则对城市区域做剖分，进行支路网建模；②根据商业区的分布确定城市热点位置，然后通过最短路径算法和本文提出的道路扩展算法对主干路进行定义和提取；③在支路网和主干路的基础上，结合城市次干路间距的规定进行次干路网的定义和提取；④对比道路规划中的非直线系数和各等道路里程比例的最佳要求，对实验结果进行评价。

图2 本文方法流程图

3.2 支路网建模

城市的基础支路网往往是结合绿地、水体、地貌等自然因素，在城市历史发展中自然形成的。支路网建模主要分为以下2个过程。

3.2.1 支路网路段的建模

支路网路段的建模主要结合有限元网格划分方法——AFT法，并基于城市绿地及水系走向来实现，从以下3个方面进行说明。

(1) 道路网结构形式。在城市道路网规划时，采用方格网式，建筑用地较为整齐，土地利用率也较高，同时由各功能分区中道路网特点可知，其内部均以方格网式布局为主，所以常在城市路网规划布局时选用[16]。四边形网格从数值模拟角度来看，无论是计算效率还是精度都要优于三角形网格，故四边形网格也是有限元分析中常用网格类型。虽然AFT法最初用于三角形网格的生成，但后来被广泛推广用于四边形网格、三维四面体网格等[17]。AFT法生成四边形网格一般需通过三角形网格的分解或合并[18-19]，对于直接生成四边形网格(如 Paving算法)目前也有不少相关研究[20-22]，本文结合三点AFT法的思想直接生成以四边形网格为主的支路网模型。

(2) 河道区域支路网走向。在城市规划中，河网地区道路一般平行或垂直于河道，有利于架设桥梁，并对城市道路网的延伸和发展有积极的影响，河道是本研究着重考虑的边界因素。AFT法的基本原理主要为边界离散，然后插入节点、更新前沿，并不断迭代直至前沿为空。考虑到 AFT法从边界开始离散，逐步向内推进，生成的网格都是沿边界走向，应用此方法对路网进行建模，边界部分的道路可以保证平行于河道，能很好地满足规划中对道路走向的要求(如图3～4所示)。

图3 城市水系图

图4 河网地区道路走向(青色表示河流)

(3) 功能分区与支路网密度。城市路网疏密程度与人口密度相关，而人口密度一般由功能分区决定。在城市道路规划中，商业区交通最密集，交通压力较大，因此其路网密度会随之加大；工业区用地规模较大，支路密度会随之降低。在使用有限元法进行计算时，为使结果更为精确，应力集中区域网格密度会相对较大。本文将人口密度大的功能分区看作应力集中区域，在进行支路网建模时，结合图5所示的城市功能分区，使商业区与居住区的支路网密度较工业区大，从而达到与城市规划中对于各功能分区的路网密度要求一致的目的。同时，商业用地和居住用地往往是紧密结合，支路网密度均高于工业用地，所以可将这两种功能分区支路长度即网格大小同时考虑。

图5 用地功能分区图

本文结合三点 AFT法思想和文献[22]以及各功能区路网密度的规定，支路网路段建模的主要步骤如下：

步骤1. 根据各功能分区位置，将城市区域划分为各个小区块，注意剖分线段尽量与已有边界(如水系或绿地)平行或垂直，以使支路走向与边界平行。

步骤2. 离散该目标区域的边界曲线，各离散段长度依功能分区确定，从而基本确定各功能区路网密度。本文中依照城市模型比例，商业区和居住区设定为 200～250 m，工业区设定为250～300 m。

步骤3. 将所有离散线段之间夹角θ最小处作为基边，对于网格单元理想点(支路网交叉点)的选择，分以下2种情况讨论，如图6所示：

①若 θ＜110°，选取相邻边上的已有前沿点A1，并使 P1A1与 AB平行，P1A1长度满足对应功能分区内路段长度的设定；

②若θ≥110°，选取夹角θ角平分线上的点P1，使P1A长度满足对应功能分区内路段长度的设定，再选取P2，使P2P1与AB平行。

步骤4. 确定第一个网格后，更新前沿，依次插入 Pn，直至前沿为空。最后进行相关单元有效性检查和网格优化。

图6 网格单元理想点的选择

3.2.2 支路网路段的调整

(1) 道路节点处相交道路数量确定。城市路网节点处相交道路数量应以4条为主，最多不超过5条，交叉的道路应尽量保持垂直，在受地形地物影响时，也要尽量使规划的道路夹角不小于70°[14]。当路线转折角过大时，转折点宜放在路段上，而不宜设在交叉口，有利于交通安全。所以，在支路网建模时以四边形网格为主，尽量避免图7中的三角形网格。

(2) 路网调整。在支路网初始建模完成后，可采取在区域中新建线条作为各功能分区的界限或改变道路网走向，同时也可对三角形路网较多区域进行网格合并处理(如图8～9所示)。

图7 道路网节点三角形网格处

图8 设定道路网走向图

图9 三角形路网合并处理

在完成上述两步之后，城市部分区域的支路网建模如图10所示，然后再依次完成剩下区域建模工作。

图10 部分区域支路网建

3.3 主干路与次干路建模

在城市发展中，城市各等级道路的形成往往是由城市热点区域影响(如商业中心的分布)，并在城市路网升级改造中逐步实现的，因此在支路网的基础上来定义并提取不同级别的道路。在道路规划中，交通可达性是必须考虑的一个重要因素，只有连通更多功能点，才能满足更多人的需求。最短路径问题对于交通网络结构分析、城市公共交通网络规划等方面，都有直接的应用[23]。交通系统的最优路径规划能使资源和时间的利用率最大化，主干路网作为城市路网的骨架部分，是重要的疏通性道路。

本文将城市路网看作一个网络结构，采用最短路径算法(Dijkstra)得出两两热点(商业中心)之间的最短路径作为城市初始主干路网。次干路是介于主干路与支路间的主要车流和人流交通集散道路，为了优化并丰富道路网等级结构，并使次干路网在城市各区块内形成较为完整的网络，对次干路的建模工作是基于主干路和支路。在干路的建模研究中，首先需在支路网中分别提取 2条主干路的交点和主干路与次干路的交点，并通过这些交点确定 2种干路的走向，然后对干路进行定义和提取工作。

3.3.1 主节点(2条主干路的交点)与次节点(主干路与次干路的交点)生成算法

主节点生成算法是在主干路上提取2条主干路的交叉口，在此节点处扩展主干路，使之形成十字形交叉口，避免出现大转角的主干路路段。次节点生成算法是在主干路上提取主干路与次干路的交叉口，在此节点处扩展次干路，与主干路网一起形成干路网。详细算法如下：

(1) 主节点。遍历初始主干路，沿每条主干路计算连续的3个节点P1、P2、P3的夹角，为保证道路夹角不小于70°，且使其在90°±20°范围内，如果∠P1P2P3∈(70°，110°)，则P2视为主节点。

(2) 次节点。遍历每条主干路，对每一个节点之间的距离进行累加。当累加长度大于1 000 m时，该节点被视为次节点。在到达主节点或找到次节点后，累加长度做清零处理，如图11所示，红色为主节点，青色为次节点。

图11 主节点和次节点示意

3.3.2 道路扩展算法

道路扩展算法是在确定主节点和次节点之后，分别在这2类节点处基于规则扩展形成城市干路网。如图12所示，黄色路段表示主干路，红色和青色分别表示扩展的主次干路。算法如下：

(1) 将主节点或次节点设为start节点，与start节点相连的非主干路上节点方向为扩展方向，沿扩展方向与start结点相连的设为end节点。

(2) 遍历与end节点相连接的所有结点，找出其中一个节点nb，计算3个节点夹角，如果夹角大于150°，则沿节点nb方向道路扩展。

(3) 再将end节点编号赋予start，nb节点编号赋予end，循环该过程，直至找不到这样的节点或nb节点为主干路上节点。

图12 道路扩展示意图(截取部分区域)

3.3.3 干路建模步骤

(1) 主干路建模步骤如下：

步骤1. 结合城市功能分区中商业用地分布，确定城市热点相应节点编号，利用最短路径算法得出初始主干路网。

步骤 2. 通过分析初始主干路网中各条主干路走向，为使主干路简洁有效，在尽量保持主干路原有走向的基础上，适当修改以下2类主干路路段：

①连续拐角的路段，如图13所示。

图13 连续拐角路段

②两节点之间有两段连接的路段走向，则删除拐角多的路段，如图14所示。

步骤3. 基于修改后的新的初始主干路网，依次遍历该主干路路段，提取主节点，并在主节点上使用道路扩展算法，得出第二条主干路网。

步骤4. 对于城市热点的节点处，分别如图15所示的3种情况进行讨论，扩展出第3条主干路网。

①当只有一条主干路时，沿这条主干路方向扩展。

②当有两条主干路时，分别沿这两条主干路方向扩展。

③当有三条及以主干路时，则不扩展。

图15 热点处节点扩展

(2) 次干路建模步骤如下：

步骤1. 对于修改后的初始主干路网，为使次干路网不至于交织过密，由最小生成树算法，用最短路径连接各城市热点。

步骤2. 遍历上述步骤中得出的每段最短路径，找出次节点编号，并在次节点处使用道路扩展算法扩展次干路，得出第1条次干路网。

步骤3. 分别遍历第2条和第3条主干路网中的主干路，按上一步的方法分别得出余下的次干路网。

4 实验结果

4.1 实验结果

按照本文提出的方法和步骤，使用 Visual Studio 2013作为开发工具，C++作为开发语言。整个城市范围约为20 km×15 km，结合功能分区图，选取位于商业区的若干节点为热点，节点编号分别为401、659、978、1051、2094、2983、3815、4200，图 16～18表示了最后各等级道路网形态。从图中可以看出无论是路网走向还是路网密度都分别充分结合了河流和功能分区设置，各等级道路网也在各个功能分区中分配较为合理，图18中分别用红框标识出了与实际相符的典型的商业区路网和工业区路网。

图16 城市支路网图

图17 城市主干路网

4.2 实验结果评价

考虑到可宏观量化，城市路网规划是否合理，很大程度上由便捷性和各级路网比例关系决定[]。

图18 城市各等级道路网

(1) 非直线系数。路网的非直线系数是道路起讫点之间实际最短距离与其空间直线距离的比值，是衡量路网便捷性的指标之一。其计算公式为：

方格网式路网的平均非直线系数是 1.15，环形放射式的为1.08，单纯放射式的为1.49。《城市道路交通规划设计规范GB50220-95》规定：公共交通线路非直线系数不应大于1.4，整个线网的平均非直线系数为1.15～1.20为宜。修改后的初始主干路中两两热点的非直线系数见表2所示。从表2可看出，非直线系数均小于1.4，大致位于1.1～1.3之间，城市路网基本符合规划要求。

(2) 路网等级结构。合理的城市道路网等级配比类似于一座金字塔，各个等级道路要形成一个完善的路网体系的话，低等级道路所占比重就相应较大，各等级道路占比规划值已在表1中给出。

本实验中主干路总里程为247.71 km，次干路总里程为519.34 km，支路网总里程为1 902.42 km，分别占比9.28%、19.46%、71.27%。对比表1中数据，主干路和支干路占比略低，支路网占比略高，但总体来说基本满足规划中对城市路网级配比例要求。

表2 热点之间的非直线系数

5 讨论与结论

本文所介绍的方法考虑实际的城市用地性质，通过将城市规划中对各级道路的定义和设置的引入，结合城市路网的分级和城市功能分区，通过调整支路网，使生成的路网符合规划要求。本文模型可针对依地势而建的新城区、城市扩张区域或虚拟城市各等级路网的建模需求。

在城市规划中需要考虑的因素相当多，不可能每一个因素都完美的体现在模型中。将城市路网的分级生成与城市土地利用、城市功能分区、城市扩张相结合将会成为今后研究的重点和难点，同时城市路网的走向也可以影响城市气温与污染物的扩散，如果将城市路网的自动生成再与这些环境因素结合起来，对于计算机图形学与数学、物理学科的结合将产生更加深远的影响。

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Urban Road Network Modeling Based on Finite Element Mesh Generation

Wang Yuan, Liu Hua, Li Hang

(School of Urban Design, Wuhan University, Wuhan Hubei 430072, China)

Considering the functional region in urban, we present a road modeling method based on the algorithms of finite element mesh and road feathers in city district. In our method, urban planning theory is used to build hierarchical road and the trunk roads can be defined and extracted from the branch roads. This experiment combines the road level, land utilization, functional region and characteristic of the road in urban, and shows reasonable result compared to road networks in urban planning.

modeling of road networks; finite element; functional region; road level

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2016030377

A

2095-302X(2016)03-0377-09

2015-09-14；定稿日期：2015-12-20

国家自然科学基金项目(41471324)

王 元(1988-)，男，湖北潜江人，硕士研究生。主要研究方向为工程仿真技术。E-mail：fengfei0827@126.com

刘 华(1976-)，男，湖北武汉人，副教授，博士。主要研究方向为空间数据模型、城市仿真、虚拟现实。E-mail：liu.hua@whu.edu.com