能量在多物体系统中的“乾坤大挪移”

陈伟平

多物体系统的能量转移在高考中考查的频率非常高，是高考的重中之重。在解答这一题型时首先要清楚系统能量守恒的判断方法，厘清能量转化或转移的路径，然后寻找这些量之间的等量关系，最后准确列出相应的方程式求解。

在解决此类型题目时要注意三点：正确选取研究对象、合理选取物理过程、正确选取能量守恒定律常用的表达形式列式求解。下面分五种不同的典型系统类型加以分析。

一、弹簧和物体组成系统类

应用机械能守恒定律必须准确地选择系统，系统选择得当，机械能守恒；系统选择不得当，機械能不守恒。弹簧和物体组成的系统中若只有弹力和重力做功，系统的机械能守恒，但系统中单个物体的机械能不守恒。

例1 如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上（桌面足够大），A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时托住B，A处于静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是（ ）

A. A物体与B物体组成的系统机械能守恒

B. A物体与弹簧所组成的系统机械能的增加量等于细线拉力对A做的功

C. B物体机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量

D.当弹簧的拉力等于B物体的重力时，A物体的动能最大

【解析】A物体、弹簧与B物体组成的系统机械能守恒，但由于弹簧的弹力参与做功，弹性势能参与了机械能的变化，所以A物体与B物体组成的系统机械能不守恒，选项A错误；A物体与弹簧组成的系统只有细线拉力这一个外力做功，所以机械能的变化只与这个外力做的功有关，选项B正确；因为A物体、弹簧以及B物体组成的系统机械能守恒，所以B物体机械能的减少量等于A物体机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故B物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，选项C错误；当弹簧的拉力等于B物体的重力时，B物体速度最大，且B物体与A物体速度是一样的，所以此时A物体的动能最大，选项D正确。【答案】BD

【小窍门】

1.如果多物体系统中有弹簧，一般弹簧的弹力会在整个运动过程中做功，弹性势能参与机械能的转换；

2.弹簧弹力对物体做功时，弹簧和物体组成的系统机械能守恒，但物体的机械能不守恒；

3.弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W=-ΔEp。

二、轻杆连体类

当轻杆连体系统内部的相互作用力是轻杆的弹力时，弹力只是使系统的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其他形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。

例2 （2015·全国Ⅱ卷）如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。由静止开始运动，不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则（ ）

A. a落地前，轻杆对b一直做正功

B. a落地时速度大小为

C. a下落过程中，其加速度大小始终不大于g

D. a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg

【解析】滑块b一直在沿杆运动且滑块b的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对b先做正功，后做负功，选项A错误；以滑块a、b及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当a刚落地时，b的速度为零，则mgh=mva2+0，得va=，选项B正确；a、

b的先后受力分析如图甲、乙所示，由a的受力情况可知，a下落过程中，其加速度大小先小于g后大于g，选项C错误；由于整个系统机械能守恒，当a的机械能最小时，b的机械能必定最大，且b的重力势能没有变化，即b的动能在此时最大，根据受力分析可知b在做加速度减小的加速运动，所以当b的速度最大时，b的加速度为零，轻杆与滑块b之间没有相互作用力，滑块b只受重力和地面的支撑力作用，所以它对地面的压力大小为mg，选项D正确。【答案】BD

【小窍门】

1.要注意机械能守恒的条件不是合外力做的功等于零，更不是合外力为零；

2.只有重力做功不等于只受重力作用；

3.对于有轻杆关联的系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断。

三、轻绳连体类

这一类系统中除重力以外的其他力对系统都不做功。系统内部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉力只是使系统的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其他形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。

【小窍门】

1.注意寻找用绳相连接的物体间的速度关系和位移关系；

2.若绳子由松弛状态变为拉紧状态，系统动能损失最大。

四、在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类

光滑的圆弧放在光滑的水平面上，物体在光滑的圆弧上滑动，如果不受任何水平外力的作用，系统机械能守恒。

例4 （2015·福建卷）如图所示，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点。一质量为m的滑块在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度為g。

（1）若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力。

（2）若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车。已知滑块质量m=，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分

量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ，求：

①滑块运动过程中，小车的最大速度大小vm；

②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小s。

【小窍门】

1.系统内部的相互作用力是圆弧和球之间的弹力，弹力对m做负功，对M做正功，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故系统机械能守恒；

2.要注意使用系统水平方向动量守恒这一默认条件。

五、 多物体碰撞类

此类问题涉及多个物体、多个运动过程，并且物体间还存在相对运动，所以准确求出各物体在各个运动过程中的加速度（注意两过程的连接处加速度可能突变）和找出物体之间的位移（路程）关系或速度关系是解决该类型题目的突破口。

例5 （2013·山东卷）如图所示，光滑水平轨道上放置长板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA=2 kg、mB=1 kg、mC=2 kg。开始时C静止，A、B一起以v0=5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小。

【解析】因碰撞时间极短，A与C在碰撞过程中动量守恒，设碰后瞬间A的速度为vA，C的速度为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得mAv0=mAvA+mCvC。

A与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得mAvA+mBv0=（mA+mB）vAB。

A与B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足vAB=vC。

联立解得vA=2 m/s。