数形结合在数学中的应用浅议
2016-11-26李旭东
李旭东 李 娟
(山西省晋中师范高等专科学校 山西 晋中 030600)
数形结合在数学中的应用浅议
李旭东 李 娟
(山西省晋中师范高等专科学校 山西 晋中 030600)
数学是空间形式和数量关系的科学,数形结合也是重要的数学思想方法之一,从数的概念的形成和发展,到微积分的产生及现代数学各分支学科的形成,都是与数形的完美结合分不来的。“数”与“形”也是贯穿整个数学分析教材的两条主线,把握好数形结合的思想方法对于教师教学有重要意义,也有利于学生学习数学分析。
数形结合;数学分析;数学思想;教学方法
数形结合的定义:数形结合是一种数学方法,它是一种极富数学特点的信息转换。许多数量关系方面的抽象概念和解析式,若赋之以几何意义,往往变得非常直观形象,并使一些关系明朗化、简单化;而一些图形的性质又可以赋予数量意义,寻找恰到表达问题的数量关系,既可以使几何问题代数化,以数助形,用代数方法使问题得到解决。这种将数与形融为一体的方法,叫做数形结合数学方法。
所谓数形结合思想,就是在研究问题时把数和形结合起来考虑。数学的研究对象大致可以分成两类:一类是研究数量关系的:一类是研究空间形式的。整个数学,不论是初等数学还是高等数学,都是以数和形作为研究对象的。数和形是数学的两个基本概念,全部数学大体上就是围绕这两个概念的提炼、演变、深化、发展而逐步展开的。在数学的原始时期,人们在计算长度、面积和体积时,就已经将数和形联系起来了。数形结合作为数学教学中非常重要的思想,始终贯穿于整个数学的学习与探究中。美国图论学者哈里有一句名言:“千言万语不及一张图”。结合图形,形象、直观地向学生展示定义、定理等,会有意想不到的收获。
著名数学家华罗庚曾指出:“数缺少形时少直观,形少数时难入微。”这句话说明了“数”和“形”是精密联系的。我们在研究“数”的时候,往往要借助于“形”,在探讨“形”的时候,又往往离不开“数”。这就要求在研究数学问题的时把数形知识结合起来,引导学生从数的方面进行抽象思维;从形的方面进行逆向思维。数形结合思想方法贯穿数学分析的全部内容.例如, 由形到数, 从几何性质出发, 建立直线与平面的方程;从柱面、锥面、旋转曲面的形状或曲面的形成规律出发建立其代数方程.由数到形, 从平面、直线方程出发, 探求点、线、面之间的位置关系和度量关系;从椭球面、双曲面、抛物面的方程出发, 探求其所代表的几何图形的形状和性质;从二次曲线的方程出发, 探究其所代表的线的形状, 包括渐进方向、中心(顶点)、主直径, 不仅从直观上了解线的大致形状, 而且为进一步化简作了准备.“数形结合”沟通了代数与几何最基本对象之间的联系, 使几何的概念得以用代数方式表示, 几何目标得以用代数方法达到.反之, 代数语言可得到几何解释而变得直观、易懂。可以说, 数形结合的思想方法是数学分析的一个重要思想方法,掌握好数形结合的思想方法对大学教学的展开、学生对数学的学习有重要意义。
通过不同的途径途径培养学生数形结合的思想,(一)重学生数学审美能力的培养,激发学生对数学的兴趣,数学直觉思维常常可以通过跳跃性的想象和迅速敏锐的识别判断,而直接达到对数学对象的本质规律的认识,因而富于创造性。数学美集中表现在数学本身的简单性、对称性、相似性、和谐性和奇异性等。数学的美体蕴含在数与形的相互结合中。对数学美感因素的审视与挖掘是直觉思维的重要源泉。在教学中,应经常让学生从精炼准确、简明深刻、富有说服力和美感性的数学语言中,从工整规范的图形与和谐有序的式子中感受和发现数学美,使学生在数学美愉悦中,深化理解知识。(二)要培养学生有意识地用数学美的思想方法指导解题:追求简洁美,探索解题捷径;构造对称美,简化解题过程;运用相似美,总结解题规律;利用和谐美,启迪解题思路;发现奇异美,突破解题常规;应用普遍美,拓广解题结论。运用数形结合的思想方法教学,有助于培养学生的数学审美能力,能够有效地发展学生的直觉思维,从而较快地提高学生的数学素养和创新能力。(三)通过具体而经典的事例,培养学生数形结合思想,首先,教师在教学过程中要注重引导学生领略数学本身所蕴涵的数形美感。比如,教学中可以列举一些有关数学美的经典事例,如黄金分割、勾股定理、还有混沌等,让学生感知“数”与“形”结合的客观美感,以此激发学生的学习兴趣。其次,重视“数形结合”基础阶段的引导。数学学习自始至终都贯穿着数形结合的思想。比如初大一结合“数轴”所学的区间和邻域等,就是“数形结合”思想的初步渗透,在数形结合能力培养过程中起到重要的奠基作用。通过具体的例子,让学生领略“数”与“形”的和谐统一,并在不知不觉中逐渐形成了运用数形结合思想的意识。
因此,认真研究国外教材特点,可以在我国的教材上做一些改进。应认真研究并充分吸收现代科技成果和现代科技方法教材建设,加强教材的时代性,使教材具有一定的先进性。同时,要注意国外教材取材的丰富性和鲜明特色、学习外国教材整合数学知识的成功经验,这是我国数学专业的课程体系做比较深刻的改革的重要借鉴。
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李旭东(1981.09—),男,汉族,山西晋中人,硕士,晋中师范高等专科学校,讲师。李娟(1982.09—),女,汉族,山西榆次人,晋中师范高等专科学校,助教,山西师范大学硕士研究生。
G633.6
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1672-5832(2016)02-0051-01