有错必纠有“法”可依

陈俊

有错必纠有“法”可依

陈俊

《有理数》一章是初中数学的基础,同学们对相关概念的理解一定要透彻,要熟练掌握相关运算律和运算技巧,使运算简捷明快,正确优美.现举例剖析《有理数》中的典型错误,望同学们引以为戒.

一、有错必纠

1.概念不清

例1最小的非负整数是.

【错解】1.

【剖析】非负整数是指0和正整数,而绝非“非负即正”,要吃透非负整数的概念方可正确解题.

【正解】0.

【剖析】原因在于对分数的概念理解不清,错以为分数就是形式上带有分数线的数,其实,有限小数和无限循环小数都是分数.

例3绝对值为3的数是______.

【错解】3.

【剖析】错因在于对绝对值概念理解不清.绝对值是指数轴上表示一个数的点到原点的距离.不论正、负数,到原点的距离都可以是3,不能只想到了原点右边的数3,而忽略了在原点左边的-3.

【正解】±3.

例4判断：-a是负数.()

【错解】√.

【剖析】-a表示的是a的相反数,其符号完全取决于a的符号.当a是正数时,-a是负数;当a是负数时,-a是正数;当a是0时,-a是0.

【正解】×.

例5将数370000用科学记数法表示为______.

【错解】37×104.

【剖析】科学记数法是指将一个绝对值大于10的数写成a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n是正整数.故a=3.7.

【正解】3.7×105.

例6判断：a+b的相反数是a-b.()

【错解】√.

【剖析】求代数式的相反数,必须是将每一项都变为相反数,a的相反数是-a,b的相反数是-b.此题只求出了b的相反数,而忽略了a的相反数.

【正解】×.

例7判断：符号不同的两个数互为相反数.

【错解】√.

【剖析】互为相反数是指“只有符号不同的两个数”,其中“只有”指的是除了符号不同外,其他完全相同.举反例:-4和+6的符号不同,但它们并不互为相反数.

【正解】×.

2.考虑不全

例8平方得16的数是______.

【错解】4.

【剖析】4的平方和-4的平方相等,都为16.

【正解】±4.

例9绝对值等于本身的数是,绝对值等于其相反数的数是，相反数等于本身的数是，立方等于本身的数是.

【错解】正数;负数;不存在;1和0.

【剖析】前两个空均遗忘了0,0的绝对值既是它本身又是它的相反数;对于第三个空,不能光知道正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,还要想到0的相反数是0本身;对于最后一空,受过去的影响只知道0和1的立方均为本身,而忽略了-1的立方也为本身.

【正解】非负数;非正数;0;±1和0.

例10绝对值大于2且不大于5的整数有.

【错解】3,4.

【剖析】有两个方面考虑不全造成的错误.一是未能正确认识“不大于”,“不大于”是指小于或等于;二是没考虑到负整数的存在.

【正解】±3,±4,±5.

3.运算出错

(1)符号错误

例11计算：-6×(-4)-120÷(-15).

【错解】原式=24-8=16.

【剖析】此解将120前面的“-”号既视为减号,又视为负号,以致出错.应当注意“-”号在运算中只能当作二者中的一种.

【正解】原式=24-(-8)=32.

例12计算：-32-(-6)-||-3.

【错解】原式=9+6-3=12.

【剖析】此解忽视了-32与(-3)2的区别,-32表示3的平方的相反数,其结果为-9,(-3)2表示两个-3相乘,其结果为9.应该注意“平方的相反数”与“相反数的平方”之间的区别与联系.

【正解】原式=-9+6-3=-6.

(2)顺序错误

例13计算：-6-(-24)÷(-3).

【错解】原式=-6+24÷(-3)=18÷(-3)=-6.

【剖析】错在违背有理数的运算顺序:先乘方,再乘除,最后算加减;有括号的要先算括号内的;对同一级运算,要从左至右依次演算(运用运算律除外).

【正解】原式=-6-8=-14.

【错解】原式=(-2)÷(-2)=1.

【剖析】此解法违背了运算顺序,乘除为同一级运算,在同级运算中,应从左到右依次演算.不能认为哪里好算就先算.

(3)滥用公式(运算律)

例15计算：(-5+2)2-9.

【错解】原式=(-5)2+22-9=25+4-9=20.

【剖析】(a+b)2表示两数和的平方,而a2+ b2则表示两数的平方和,二者不相等,此外(a-b)2与a2-b2也不相等.应按照运算顺序计算,即有括号的,应先算括号内的.

【正解】原式=(-3)2-9=9-9=0.

例16计算：［1+(-2)］3.

【错解】原式=13+(-2)3=1+(-8)=-7.

【剖析】(a+b)3表示两数和的立方,而a3-b3则表示两数的立方差,二者不相等,此外(a-b)3与a3-b3也不相等,应按照运算顺序计算,即有括号的,应先算括号内的.

正解:原式=(-1)3=-1.

=24-36-48=-60.

【剖析】对于乘法有分配律a(b+c)=ab+ ac,但除法没有分配律,即a÷(b+c)≠a÷b+a÷ c,上述解法错在乱造公式,乱用运算律.

以上错误,究其原因,主要是同学们对有理数的有关概念不明确,对运算性质、运算法则不熟所致.因此,在学习有理数时,一定要正确认识相关概念,不要死记硬背,关键靠的是理解,准确运用运算性质,熟练使用运算法则,提高自己的解题能力.

二、有“法”可依

1.解题习惯要养成

以上事例可见,同学们解题出现错误往往是因为没有认真审题,没有理解题意,没有理清运算顺序而盲目动笔.另外,在解题时很粗心,遗漏运算符号成了“家常便饭”.滥用简便算法,不顾运算顺序,乱用运算律.因此在平时的学习中,我们要养成认真读题后再解答的习惯、细心答题的习惯和不盲目使用简便运算的习惯.

2.概念、定律要厘清

如从读法、表示的意义和运算结果上理清“负数的乘方”与“乘方的相反数”二者的区别与联系;从分数、负数在算乘方时丢掉括号就发现“变味”了感受括号的作用;从乱造“除法分配律”后发现和用正常的运算顺序得出的结果不相等来体会运算律绝非想当然等.所以,我们要反复比较,反复练习,反复小结.

3.读题方法要正确

在有理数运算的学习中同学们应掌握按意义读题的方法,不能简单地按运算符号从左读到右.若读法不正确,就很难理清运算顺序,从而出错.

4.错误成因要反思

养成用好“错题集”的习惯,不断反思,避免类似的错误再出现.也可以展开小组“互查互纠”的活动,从而让自己对错误的类型、原因有深刻的认识,并悟出克服错误的方法.

5.运算意义要实际

数学来源于生活,平时在解决实际问题的过程中认识有理数运算的价值,同时多查阅相关资料,你会发现有理数运算错误给生活造成的严重后果或荒谬现象,从而增强正确进行有理数运算的自觉性与责任心.

(作者单位：江苏省南京师范大学第二附属初级中学)