von Neumann熵基本性质简述

孙仕海

摘要：熵是信息论中一个十分重要的概念，能够用于刻画信源的平均信息量。但和经典信息论中的香农熵不一样，量子信息中信源的不确定性需要使用von Neumann熵来进行刻画。同时，von Neumann熵在纠缠判别、纠缠度刻画等方面也具有十分重要的地位。因此，我们希望通过本文对von Neumann熵的性质进行介绍，能够帮助研究生更好地掌握该概念。

关键词：量子信息;von Neumann熵;信息论

中图分类号：G642.0    文献标志码：A    文章编号：1674-9324（2016）43-0279-02

一、定义

設一个量子系统的状态由密度算子

=pi|ψ〉〈ψ|（1）

其中，pi≥0，pi=1，|ψ〉是系统空间内的纯态。但此处需要注意的是不同的|ψ〉不一定相互正交。因此，可以定义这个系统的von Neumann熵为

S（ρ）=-trρlogρ（2）

如果不同的|ψ〉互相正交（不失一般性可以假设其已经归一化），那么von Neumann熵可以写为

S（ρ）=-〈ψm|ρlogρ|ψm〉（3）

对方程（3）进一步的推导后可以得到如下的表达式

S（ρ）=-〈ψm|pi|ψiδin〈ψn|logpj|ψj〉δjm

=-〈ψm|pn|ψn〉〈ψn|logpm|ψm〉

=-pmlogpm（4）

其中pm为密度算子的本征值。

从von Neumann熵的定义可以看出，其和经典信息论中的香农熵具有相类似的含义，能够用于定量分析信源的平均信息量，是忠实传送信源编码态所需要的最小信道量子位数目。同时，从公式（4）可以看出，当量子态处于完全混合态时（此时|ψi〉互相正交），von Neumann熵退化为香农熵。

二、基本性质

1.非负性。

S（ρ）=-trρlogρ≥0（5）

其中，当且仅当量子系统处于纯态时等号成立。该性质十分明显，而且证明过程十分简单，在此就不进行证明。讲解时可以作为练习让学生自己推导。

2.von Neumann熵在幺正变换下不变，即

S（UPU-1）=S（ρ）（6）

3.如果量子系统ρ存在M个非零的本征值，那么

有S（ρ）≤logM（7）

当且仅当所有非零本征值都相等时等号成立。

4.对于复合系统AB而言，如何系统处于纯态，那么必然有S（A）=S（B）（8）

该性质是von Neumann熵一个比较重要的性质，下面我们对其进行简单的证明。对于复合纯态系统AB而言，其状态波函数可以进行Schmitt分解，即其波函数可以写为|ψAB〉=|φ〉|φ〉，那么可以有

S（ρA）=S[TrB（|ψAB〉〈ψAB|）]=-PilogPi

S（ρB）=S[TrA（|ψAB〉〈ψAB|）]=-PilogPi（9）

因此可以得证。

5.假设量子体系的密度矩阵可以写为

ρ=i pi ρi，并且pi处于相互正交子空间，那么有

S（pi ρi）=H（pi）+piS（ρi）（10）

证明：假设λ和|e〉是密度算子ρi的本征值和相应的本征矢量。注意到piλ和|e〉是pi ρi的本征值和本征矢，因此

S（pi ρi）=-piλlog（piλ）

=-pilogpi-piλlogλ

=H（pi）+piS（ρi）

得证。

上面的性质（5）是von Neumann熵一个十分重要的性质，需要帮助学生理解清楚，并要求学生能够进行证明。同时，由该性质，我们可以推导出下面的结论，即假设ρi是系统A的密度算子集合，|i〉是系统B的正交态，那么有S（pi ρi？茚|i〉〈i|）=H（pi）+piS（ρi）。这个推理可以用于正交复合系统熵的计算。

6.三角不等式。设ρAB是不同的量子系统A和B中的一个状态，那么两个系统中的联合熵满足不等式

S（A，B）≤S（A）+S（B）S（A，B）≥|S（A）-S（B）|（12）

第一个方程当A和B系统不存在关联时等号成立，第二个方程的等号成立没有简单的关系式。三角不等式是von Neumann熵中另一个重要的性质，在判断不同系统熵大小时具有广泛的应用。

三、小结

上面我们从定义和基本性质两个方面对von Neumann熵进行了介绍，这些概念和性质是学习von Neumann熵时必须掌握的基本性质，对于后面量子信息基本理论的学习具有十分重要的基础作用。因此在授课时对于比较复杂的证明过程一定要让学生自己动手推导，这样才能够更好地掌握这些基本性质，这对于后面的学习十分重要。

Basic Concept of von Neumann Entropy

SUN Shi-hai

（College of Science，National University of Defense Technology， Changsha，Hunan 410073，China）

Abstract：Entropy is a very important concept in the information theory， which could be used to describe the average information amount. However，different from the Shannon Entropy in classical information theory， von Neumann Entropy should be used in the quantum information theory. At the same time， von Neumann entropy could plays important role in the criterion of entanglement. Thus， in this paper， we want to help the student to understand the von Neumann entropy by introducing the basic concept.

Key words：Quantum information;von Neumann entropy