“谬误”纠偏求真谛

文/汪利文

“谬误”纠偏求真谛

文/汪利文

本文以中学生数学解题“谬误”为载体，展示学生的负思维过程，以提升思辨能力为目标。依据归因理论剖析学生解题错误的成因，规划科学的导学组合。

谬误纠偏；归因探讨；导学组合；思辨提升

中学各门文化课的教学方式和应用取向都有所侧重，有学科各自独特的教育理念和功能定位。春兰秋菊，各有千秋。

当代社会鲜明的提示：数学不仅是科学的工具，而且更具备文化价值。中学数学教学的思维训练对促进学生大脑的全面发展，形成健全的人格和优良的思维品质无可替代。

中学课堂，学生面临两大类数学分支：“代数”与“几何”。

代数学科知识琐碎繁杂，多种概念网络交织。思辨无处不在：仅负号和括号就贯穿于学习过程的始末，随时需要运用相关概念思辨。从进行整式、分式、根式等运算中，当在学习各类方程的解法时，或讨论不同函数的变异处，不断提升着学生的思辨能力。

数学课的推理论证，用文字、图形、符号等进行连续的几何语言转换，多角度、全方位的展示了数学的魅力！无论是由因导果还是执果索因，最终确立的是题设与结论逻辑上的必然联系。通过系列证明题的训练，直至学生形成比较完整的解题思路，逐步做到答题过程的规范严谨。不断提高逻辑判断、思维、推理能力。

归因是指观察者为预测和评价观察对象的行为，并对其行为过程进行的因果解释。这种先觉者能追溯、推断和解释因果的理论称为归因理论。属于社会心理学的动机激励理论范畴。其核心是从事件的结果状态出发，追溯产生行为结果的主因，使准确预测后继行为成为可能。

归因理论的鼻祖当属美国心理学家海德。后经著名的社会心理学家韦纳等以实证研究充实和发展。韦纳对影响行为结果的原因特性、原因结构以及原因归因关乎情感、情感的激励作用等都提出了独创性的见解。

韦纳在前人归因研究的基础上，构建了归因的三维结构模式，即原因源×稳定性×控制性。他认为任何一项原因都可从运行维度进行定性分析。

教师根据多年的教学经验，往往能在教学过程中推测学生将出现一些预知的解题谬误。有时甚至故意布设陷阱与圈套，放任学生在不知不觉中发生错误的解答。直至无法理解的荒唐结论出现，致使学生们大惑不解！此时他们急想知道解题过程中产生错误的隐蔽原因，因而激发出学生们探究真理的欲望。

研究学生在解题过程中消极的归因倾向，反而具备积极的警示功能！

数学教学理当培养学生的逻辑推理和思辨能力。中学生数学解题差错不时发生。学生解题过程中的“谬误纠偏”教学，在于教师的指向性导引，是训练学生大脑的体操。对学生逻辑思维能力的形成和思辨能力的提高不可或缺。

在教学实践中，把“谬误纠偏”作为导学组合中的一个元素，确实对提高学生的思辨能力是行之有效的。而此能力通常是衡量学生数学水平高低的一项指标。

古人云：“授人以鱼，只供一饭之需，教人以渔，则终身受用无穷。”

教师需经常挖掘一些解题“谬误”的反面教材，让学生辨析纠正后印象深刻，不断提高解题正确率。学生在数学学习过程中出现了错误的解题信息，这是教师题库中宝贵的教学资源，应当充分利用。帮助学生认识产生解题错误的原因，在警示作用下学到正确的解法。这是值得探讨的课题！

失败乃成功之母，谬误为真理先导！

学生解题谬误五花八门, 不自觉的差错事出有因。本文从数学解题纠错的意义、方法等侧面进行探讨。通过纠错,将学生解题谬误分类整理，概略分析。把原因源归因定性为：（一.似是而非假乱真；二.生搬硬套模仿秀：三.偷龙转凤调包计。）反思主因，并初探相应的排障对策，规划科学的导学组合。

1 似是而非假乱真

中数教学每堂新课几乎都要出现新概念。本质上，这些以文字、符号、公式、

性质、定义、公理、定理等呈现出的均是概念。作为思维形式的显性表现，数学概念具有类同性、排它性、抽象性、发展性等特点。概念反映的是“数”与“形”的本质特征。而学生往往受已学概念的固化影响，并由于对旧概念产生的联想，对新概念内涵理解不深，仅仅停留在表层认识上。顾名思义，一知半解。就容易产生以假乱真的谬误。此类现象在学生解题过程中层出不穷。概念性“谬误”通常有下述表现：

1．1 混淆概念的内涵

如，倒数与相反数，前者是分子与分母倒置，后者是正负符号相左。乘方与幂，表示运算过程与运算结果的区别。差的平方与平方差，在于运算顺序不同。直角与90°，前者是角的名称，后者是角度的量数。三角形对边与对应边，是同一个三角形边角关系区分不同三角形的对应边之间的关系。相似形与位似形，指图形同为相似形但位似形对位置有严格要求。一元二次方程与二次函数，前者只是函数变量在当它的值等于零时的特殊类型。

随机现象与随机事件，在随机试验中，可能出现也可能不出现，这种偶然发生的现象叫做随机现象；将试验结果称为事件.在大量试验中具有某种规律性的事件称为随机事件(或偶然事件)。

在概率论中,排列与组合，要看问题是否和顺序有关。有关就是排列，无关则为组合。如：甲乙两人排队，有站法是甲乙、乙甲两种不同的排列，所以排列有A(2,2)=2种。再如：从甲乙两个球中选2个，无论先取甲，还是先取乙，和取球的先后顺序无关，所以组合有C(2,2)=1种。

互拆事件与对立事件，对立事件是试验结果的非此即彼；而互斥事件不会同时发生，但彼此互斥的可以有很多：比如掷骰子，正面朝上是1和非1，这两事件是对立事件；而正面朝上是1和正面朝上是2则是互斥事件。对立事件一定是互斥事件（因不能同时发生），但互斥事件则不一定是对立事件。

1．2 无视概念的扩充

概念是最基本的思维形式，命题由概念构成。正确地理解概念，是学生掌握数学知识的前提。因此，数学的概念教学不可忽视。关于“数系”的扩充，是在历史长河中逐步演变的。人类从认识自然数始，逐步扩展至算术数、分数、有理数、实数、复数…构筑了现代的代数体系。如在实数范围内和在复数范围内因式分解的结果是不同的。

概念具有确定性与灵活性。随着年级的升高，数学知识的累积，概念的内涵和外延会起变化。概念将不断扩充，逐步完善。教师应告知学生数学概念是相对真理。若总是受旧概念思维定势束缚，无视概念的扩充，则解题必将出错。如 “角”这个概念的扩充也是阶段性的：最初仅限于对平角，周角的认识。当高中数学中把角扩展到任意角之后，还往往有学生认为第一象限的角都是锐角，即认识还停留在旧概念上产生的误解。

1．3 联想产生负迁移

联想的负迁移，即应用之前所学的知识和方法解决遇到的新问题。如，由( xy)2=x2y2联想得(a+b)2=a2+b2false由false联想得a8÷a2=a4false；由a(m+n)=am+an联想得sin(A +B)=sinA +sinB等等，都是联想的负迁移所致。

教师需多进行概念的比较教学设计。

A．点(-1,6)在它的图象上

B．自变量的取值范围是x≠0

C．当x＜0时，y随x的增大而减小

D．当x＞0时，y随x的增大而增大

在概念教学中多质疑问难，消除由错误的联想产生的负迁移作用，以发展的眼光去捕捉新概念中的变异，澄清模糊认识，帮助学生解惑，作为教师责无旁贷。

2 生搬硬套模仿秀

在“三角函数”一章中，有近二十个诱导公式。如果死记硬背这些公式，抓不住本质（符号问题），极易出现生搬硬套的差错。

总结诱导公式的规律，教给学生一句口诀：“纵变横不变，符号看象限”。但前提是需把角看作“锐角”再用公式。比如，用错公式falsecos(-α)=cosα的概率是很大的。常见下面类型的错解：

cos(-2π/3)=- cos(2π/3)=-cos(π-π/3)= cosπ/3=1/2

第一步就出现了不易察觉的错！本例中cos(π-π/3)的角π落在横轴上，属于“横不变”，即函数名称不变。但在“符号看象限”时忽视了把角-2π/3看作“负锐角”，而生搬硬套sin(-α)=-sinα这样的同象限角的三角函数公式。正确的解法应是：

c o s(-2 π/3)=c o s(2 π/3)= cos(π-π/3)=- cosπ/3=-1/2

在二次函数的教学中，有关符号的方向性意义应得到充分的重视：如：

抛物线y=（x+2）2-3由抛物线y=x2平移得到,下列平移正确的是( D )

A. 先向右平移2个单位,再向下平移3个单位

B. 先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

C. 先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

D. 先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

观察力又是逻辑思维和推理的技能，学生对题中符号的观察无疑是第一反应。

从算术数扩展至有理数的学习过程中，学生处处受到“负数”及“减号”的困扰。加之数轴的方向性指引，一直以来，形成了顽固的思维定势，生搬硬套使此题的解答正确率低。而此题正确的选项却是( D )，令学生百思不得其解，教师要教懂他们需颇费一番周折。

3 偷龙转凤调包计

逻辑思维与推理能力对学习数学至关重要。然而观察力是思维的起点，是学生各项学习能力发展的基础。如：

例1. 一副三角板如下图叠放在一起，则图中∠α的度数为 ( )

75° B. 65° C. 60 D. 55°

初见本题，因它没有显性条件，似乎思路找不着北。进入思考后却发现内有乾坤。它考察了低年级学生对三角形内角和与外角定理的熟练应用程度。是一道培育学生思维能力的好题！

从三角形全等的判定方法始，学生开始接触几何证明规范的书写形式，关注题设与结论的因果关系。三角形全等中系统的判定方法是平面几何证明的重要内容，在几何证明中有着广泛的应用。一般三角形全等有四条判定方法：“SSS”, “SAS”, “ASA”, “AAS”.此模型提供了明确的因果关系。在许多题中，给定的题设及图形并不具有明显的全等条件，这就需要我们细致的观察、认真地分析。根据图形的结构特征，挖掘潜在因素.使学生能进一步深入探究。

例2.如图，若点D在AB上，点E在AC上且∠AEB=∠ADC则无法判定

△ABE≌△ACD的条件是（ ）

A．AD=AE B．AB=AC

C．∠B=∠C D．BE=CD

（例1）

（例2）

图形隐含的条件是公共角∠A．考虑各组判定方法的条件必考虑此公共角.此题有已知条件∠AEB=∠ADC，公共角∠A ，若再选择∠B=∠C，因“角角角”定理不存在，三对角对应相等不能判定三角形全等！经以后的学习才知“角角角”只能判三角形相似。

任何数学命题均由条件与结论构成。学生在解题时忽略条件，重视结论的现象普遍存在。其实，结论是在特定的条件下才产生的。对条件既不能遗漏，也不能外加；对条件存在的范围既不能缩小，也不能扩大。更不能把一般的条件特殊化。

要善于在审题时发现隐蔽条件，而这样的条件极易被忽视。

为加深学生对数学概念及定理的理解，教师往往精选一些相关的题型巩固新学的知识成果。如推出反比例函数自变量的值与函数值大小关系的比较题：

例3.已知（x1, y1）,（x2,y2）,（x3,y3）是反比例函数的图象上的三个点,

且y1＞y2＞y3＞0,则x1, x2, x3的大小关系是 （ ）

我们可从图象上观察到：分布在不同象限內的点的横坐标的大小比较与性质

却截然相反。丢弃性质“在每个象限内”的前提，就实施了偷龙转凤调包计。

习题错解警示：对概念当理解本质；对结果要追本穷源；对知识须灵活运用。

在学生五花八门的解题乱象中，对症下药，从谬误中求真谛，是教学的必要环节！

数学已然不是数字的运算！它的触角涉及广泛：从整式的乘法与因式分解的互逆变形；由各类方程到不等式，把等量关系又扩展至不等关系；多变的函数使数学由静态过渡到动态。数学世界，七彩缤纷，别有洞天。点动成线、线动成面、面动成体，大千世界处处皆几何；三角形、矩形、菱形、圆形…。图中的逻辑关系阐明没有规矩不成方圆的社会铁律！

德国教育家第多斯惠精辟的指出：“教学的艺术不在于传授本领，而在于唤醒、鼓舞和激励”。

三尺讲台，数学教师任重而道远。在课堂我们激发灵感、鼓励置疑、抛砖引玉，引领蛮荒的大脑迸擦出智慧的火花。在课余我们致力于题型的发掘、教法的探讨，为提升学生智能殚精竭虑。本文拓延——更应运用归因理论，激发学生积极的归因动机。以导激学、以学促智。拟开展的主题研究：

（1）迷惑型,发掘学生批判选择的能力。

（2）类比型,训练学生举一反三的能力。

（3）发散型,引导学生求异创新的能力。

作者单位
浙江体育职业技术学院