基于罚函数和特征空间的子阵级自适应波束形成

杨小鹏， 张宗傲， 孙雨泽， 闫路

(北京理工大学 信息与电子学院， 北京 100081)



基于罚函数和特征空间的子阵级自适应波束形成

杨小鹏， 张宗傲， 孙雨泽， 闫路

(北京理工大学 信息与电子学院， 北京 100081)

基于线性约束最小方差(LCMV)准则的自适应波束形成算法在实际中得到了广泛的应用，但当其应用到子阵级时，自适应方向图主瓣变形且旁瓣升高，抗干扰性能严重下降. 针对这些问题，提出一种基于罚函数和特征空间的子阵级自适应波束形成算法，引入罚函数对自适应方向图进行约束使其逼近期望的静态方向图；同时在干扰子空间约束波束响应为0，对干扰信号进行抑制. 该算法在有效抑制干扰的同时，能够使主瓣保形并保持较低的旁瓣，还能获得较好的输出信干噪比. 通过阵列方向图及输出信干噪比的计算机仿真验证该算法的有效性.

自适应波束形成；子阵级；线性约束；罚函数；干扰子空间

自适应数字波束形成(ADBF)算法在通信、雷达、声呐、地震勘探和医学图像等领域有着广泛的应用，一般情况下，自适应波束形成算法是在一定理想条件下提出来的，但是在实际环境中往往存在许多误差以及非理想因素，面对复杂的电磁环境，稳健性自适应波束形成算法[1-4]得到了广泛的应用. 通常稳健性自适应波束形成算法是在采样矩阵求逆(SMI)算法[5]基础上，通过对波束图施加更多的约束. 线性约束最小方差准则(LCMV)是其中较常用的一种算法[6-8]，它通过对方向图施加约束，在方向图满足一定的条件下计算最优权矢量，使输出功率最小. 但当其应用到子阵级时，会导致自适应方向图主瓣变形且旁瓣升高，这将会严重影响后续的单脉冲测角性能以及雷达目标检测性能. 通常通过阵元级加窗来获得较低的旁瓣，但是对于子阵级LCMV自适应波束形成算法，在阵元级加窗并不能获得较低的旁瓣，因为各子阵输出功率不相等，从而导致一部分加窗效果被抵消掉[9].

为了解决这些问题，本文引入罚函数[10-12]对自适应方向图进行约束以使主瓣保形、旁瓣降低，并约束干扰子空间的波束响应为0,对干扰信号进行抑制. 算法在自适应抑制干扰的同时，使得在子阵级得到的自适应方向图主瓣保形且旁瓣降低，并且能够获得较好的输出信干噪比性能. 由于在实际中干扰信号的方向不容易得到，因此为了构造干扰子空间，本文对协方差矩阵进行特征值分解，以此来估计所需的干扰子空间.

1 线性约束自适应算法

1.1 LCMV算法原理

考虑一N元均匀间隔线性阵列，有P个互不相关的窄带干扰入射，则阵列接收信号为

(1)

式中：sm(t)为干扰信号的复包络；θm为干扰信号入射方向；a(θm)为干扰信号的导向矢量；N(t)为背景噪声，假设它为空间白噪声且与干扰信号不相关. 令

A=[a(θ1)a(θ2) … a(θP)],

S(t)=[s1(t) s2(t) … sP(t)]T，

则式(1)可表示为

(2)

阵列协方差矩阵为

(3)

LCMV自适应权为以下最优化问题的解

(4)

式中：w为求取的自适应权矢量；C为约束矩阵；f为约束响应向量. 构造代价函数φ(w)=wHRw+(wHC-f)λ+λ(CHw-fH)，求得自适应权矢量为

(5)

这里约束期望信号方向θ0的阵列增益为μ，μ为一常数.

1.2 算法子阵级实现的主要问题

在实际中，对于大型阵列，直接在阵元级进行自适应波束形成，运算复杂度很高，不利于实时实现，通常将大型阵列划分为若干个子阵，在子阵级进行自适应波束形成. 这里将上述算法推广到子阵级. 设子阵个数为L且P+1

T=WwinΦT0，

式中Wwin=diag[wn]n=1，2，…，N，其中wn为第n个阵元的加权系数，用于抑制方向图的旁瓣电平；

表示移相器的作用，λ为信号波长，dn为第n个阵元与参考阵元之间的间距，θ0为期望信号方向，本文假设波束指向与期望信号方向一致，n=1，2，…，N. T0为N×L的子阵形成矩阵，在其第l(l=1，2，…，L)列的所有元素中，只有与第l个子阵的阵元序号相对应的元素值为1，其余均为0(在非重叠子阵的情况下，T0的列向量相互正交).

在子阵级进行自适应波束形成时，子阵级协方差矩阵为Rsub=THRT，在子阵级构造所需要的约束矩阵Csub以及相应的约束响应向量fsub，构造子阵级自适应权矢量求解的最优化问题

(6)

求得子阵级的自适应权矢量为

(7)

此时波束指向处的导向矢量为

asub(θ0)=THa(θ0).

当LCMV算法应用到子阵级时，虽然可以对干扰进行有效地抑制，但是其方向图的主瓣变形且旁瓣升高，抗干扰性能严重下降. 通常通过阵元级加窗来获得较低的旁瓣，但是对于子阵级自适应波束形成，在阵元级加窗并不能获得较低的旁瓣，因为各子阵输出功率不相等，从而导致一部分加窗效果被抵消掉.

2 稳健的子阵级自适应算法

在子阵级实现LCMV自适应波束形成算法时，虽然能有效地抑制干扰，但是算法会导致自适应方向图主瓣发生变形、旁瓣电平升高，抗干扰性能严重下降，这将严重影响雷达性能. 为使得自适应方向图逼近期望的静态方向图，修正方向图主瓣以及降低方向图旁瓣，以获得良好的性能，本文利用罚函数其进行约束；对信号协方差矩阵进行特征值分解，估计出干扰子空间，并在此空间内约束波束响应为0，从而对干扰进行抑制.

2.1 基于罚函数的方向图控制

罚函数的定义如下

(8)

式中：asub(θ)为对应空间角θ的子阵级导向矢量，wsub_q为期望方向图的静态权矢量，由它确定期望的静态方向图；h(θ)为一个合适的非负加权函数. 可以看出E反映了自适应方向图与静态方向图的差异，罚函数E被认为是一个能量函数，E的大小反映了自适应方向图按照某种要求逼近期望的静态方向图的程度.

引入罚函数后，自适应权矢量为以下最优问题的解

(9)

式中：wsub为需要求取的子阵级自适应权矢量；Csub、fsub分别为子阵级的约束矩阵、约束响应向量，且

Csub=[asub(θ0) asub(θ1) … asub(θP)]，

fsub=[μ 0 … 0]1×(P+1)；

Zsub为L维矩阵，

asub(θ)=THa(θ)，

则

(10)

(11)

通过代价函数φ(wsub)对wsub求导数并令其为0，可以求得自适应权矢量为

(12)

其中Q=Zsub. 在实际应用中，矩阵Z的计算可以离线进行，所以改进后的算法增加的计算量很小. 这种基于罚函数约束的自适应波束形成算法，在抑制干扰的同时，能够使得自适应方向图逼近期望的静态方向图，从而获得主瓣保形与旁瓣降低的效果.

2.2 基于干扰子空间的干扰抑制

由于干扰信号的方向不容易得到，也就不能直接获得asub(θ1)，asub(θ2)，…，asub(θP)来构造约束矩阵Csub. 但是由阵列协方差矩阵分解得到干扰子空间，可以间接提取干扰角度信息，然后通过干扰特征矢量约束抑制干扰. 干扰信号个数可以通过MDL、AIC等算法估计得到.

对R进行特征值分解，得到

(13)

式中：λi(i=1，2，…，L)为协方差矩阵的特征值；ei为与特征值λi对应的特征向量，将λi由大到小排列λ1≥λ2≥…≥λP≥λP+1=…=λL，这里已经假设共有P个互不相关的干扰， Us=[e1e2… eP]为干扰子空间，Un=[eP+1eP+2…eL]为噪声子空间，且

Λs=diag[λ1λ2…λP],

Λn=diag[λP+1λP+2… λL].

由数学知识可知矢量e1，e2，…，eP与矢量a(θ1)，a(θ2)，…，a(θP)张成同一个矢量空间，即

span[e1e2…eP]=

(14)

式中：span{·}表示矢量张成的矢量空间；Us=[e1e2…eP]即为干扰子空间的估计. 此时约束矩阵、约束响应向量可以构造为如下形式

(15)

其中θ0为期望信号方向. 此时利用公式就可以得到基于子空间的自适应权矢量. 这样就能够将算法在子空间进行实现，并且抑制了干扰.

2.3 算法的实现步骤

在实际应用中，需要实时的根据接收的回波数据计算自适应权矢量，然后对回波数据进行加权. 在应用本文提出的基于罚函数和特征空间的子阵级自适应波束形成算法计算自适应权值时，利用罚函数对方向图进行约束，使其逼近期望的静态方向图；同时在干扰子空间内约束波束响应为0，对干扰进行抑制. 在计算自适应权矢量时，矩阵Z可以事先已经计算出来并存储，期望的静态方向图权矢量wsub_q也已经确定，自适应权矢量计算步骤为：

① 利用回波数据估计协方差矩阵：

式中：K为快拍个数；Xsub(k)为k时刻子阵接收的回波信号.

④ 依据式(15)构造自适应权求解中的约束矩阵以及约束响应向量.

⑤ 由式(12)求得最终的自适应权矢量.

其中，步骤③中可以采用MDL、AIC等算法来估计干扰源的个数.

3 仿真分析

对本文提出的自适应波束形成算法的阵列方向图以及输出信干噪比进行仿真，比较分析该算法的性能. 仿真实验中假设阵列为一均匀线阵，阵元间隔为半波长，阵元个数为52，将阵元划分为10个子阵，阵元个数依次为10、7、4、4、1、1、4、4、7、10，为非重叠子阵划分.

3.1 阵列方向图分析

干扰信号的入射方向为-12°、18°，干噪比(INR)均为30 dB，波束指向为0°，快拍个数K=20，且窗函数为-40 dB泰勒窗，进行100次蒙特卡洛仿真.

如图1(a)所示，改进前后的自适应算法都能在干扰方向形成零陷，对干扰进行有效地抑制；但是改进前算法的主瓣变形，而改进后算法的主瓣跟静态方向图的主瓣一致；改进前算法的旁瓣电平升高，而改进后算法的旁瓣电平较低，达到了静态方向图的旁瓣水平.

图1(b)是加窗时的阵列方向图仿真，可以看出，改进前后的算法都能在干扰方向形成零陷，对干扰进行有效地抑制；在加窗情况下，改进前算法的主瓣变形严重，而改进后算法的主瓣与静态方向图的主瓣一致；改进前算法的旁瓣电平较高，而改进后算法的旁瓣电平较低，达到了静态方向图的旁瓣水平.

通过对算法自适应阵列方向图的仿真分析，可以得到本文提出的自适应波束形成算法能够对干扰进行有效地抑制，且能够使阵列方向图的主瓣保形、旁瓣降低.

3.2 输出信干噪比分析

3.2.1 不同快拍下的输出信干噪比

干扰信号的入射方向为-12°、18°，干噪比均为30 dB，波束指向为0°，信噪比(SNR)为0 dB，快拍数为10～60，进行100次蒙特卡洛仿真.

如图2所示，相同快拍下，改进后的算法输出的信干噪比比改进前高；改进前算法的输出信干噪比在快拍数约为50时收敛，而改进后算法的输出信干噪比在快拍数约为20时就已经收敛，说明改进后算法的输出信干噪比收敛速度快. 因此在相同快拍下，改进后算法具有较好的输出信干噪比性能，尤其是在低快拍时，改进后的算法输出信干噪比性能大幅度提高.

3.2.2 不同波束指向的输出信干噪比

干扰信号的入射方向为-12°、18°，干噪比均为30 dB，波束指向为-40°～40°，信噪比为0 dB，快拍数为20，30，进行100次蒙特卡洛仿真结果如图3.

从图3可以看出，在同一波束指向处，改进前算法的输出信干噪比较低，而改进后算法的输出信干噪比较高；比较图3(a)与图3(b)，当快拍数从20变为30时，改进前算法的输出信干噪比变化较大，而改进后算法的输出信干噪比变化很小，且都保持较高的水平，说明改进后算法对快拍数不敏感.

通过对算法输出信干噪比的仿真及分析可知，改进后的自适应波束形成算法能够获得较高的输出信干噪比，且对快拍个数不敏感，具有较好的输出信干噪比性能.

4 结 论

针对在子阵级应用LCMV自适应波束形成算法时，导致方向图主瓣变形且旁瓣升高从而导致抗干扰性能严重下降的问题，提出一种基于罚函数和特征空间的子阵级自适应波束形成算法. 该算法通过引入罚函数对自适应方向图进行约束使其逼近期望的静态方向图；同时在干扰子空间约束波束响应为0，对干扰信号进行抑制. 由仿真结果可以看出，该算法能够达到主瓣保形以及降低旁瓣的效果，同时能够获得较好的输出信干噪比且对快拍数稳健. 本文所提出的算法具有良好的抗干扰性能，是一种适用于子阵级自适应波束形成的稳健算法.

[1] Li Jian， Stoica Petre， Wang Zhisong. Doubly constrained robust capon beamformer[J]. IEEE Trans on Signal Process， 2004，52(9):2407-2423.

[2] 任超，王永庆.基于两步最小均方的自适应方向图控制算法[J].北京理工大学学报：自然科学版，2010，30(9):1090-1093.

Ren Chao， Wang Yongqing. Method of adaptive pattern control based on the two-step least-squares[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology: Science and Technology, 2010，30(9):1090-1093. (in Chinese)

[3] 任超，吴嗣亮，王菊，等.基于可变对角加载的稳健孔氏波束形成算法[J].北京理工大学学报：自然科学版，2008，28(11):1008-1012．

Ren Chao， Wu Siliang， Wang Ju, et al. Robust space-time beamforming algorithm with variable biagonal loading[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology: Science and Technology, 2008，28(11):1008-1012. (in Chinese)

Adaptive Beamforming at Sub-Array Level Based on Penalty Function and Eigen-Space

YANG Xiao-peng， ZHANG Zong-ao， SUN Yu-ze， YAN Lu

(School of Information and Electronics， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

Adaptive beamforming algorithm based on the linearly constrained minimum variance principle (LCMV) is widely applied in adaptive array processing. However, when LCMV is applied to the sub-array level, it causes the distortion of the mainlobe and heightening of the sidelobe. In order to solve these problems, an adaptive beamforming algorithm at sub-array level was proposed based on penalty function and eigen-space. In this proposed method, the penalty function was applied to control the adaptive pattern, meanwhile, interference was suppressed adaptively by setting constraints in interference subspace. Results show that, the proposed method can not only provide automatic suppression of jamming but also guarantee the adaptive pattern be close to the desired quiescent pattern, so that the mainlobe of the pattern is maintained and the level of the sidelobe is lowered. Furthermore, it provides better performance of output signal to interference plus noise ratio (SINR). Computer simulation results of array pattern and output SINR prove the validity of this proposed algorithm.

adaptive beamforming; sub-array level; linearly constraints; penalty function; interference subspace

2014-01-15

国家高等学校学科创新引智计划(B14010)；国家自然科学基金资助项目(61225005，61120106004)

杨小鹏(1976—)，男，副教授，博士生导师，E-mail:xiaopengyang@bit.edu.cn.

张宗傲(1989—)，男，硕士生，E-mail:zongaozhang@126.com.

TN 957.2

A

1001-0645(2016)05-0541-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.05.019