探讨圆锥曲线上两点关于直线对称一类问题的解法

朱远程

【摘 要】在平面解析几何中，直线与圆锥曲线相交弦的中点问题是平面解析几何中的重点问题、综合性问题，有一定的难度。尤其是圆锥曲线上两点关于某直线对称求参量的取值范围时，解题过程冗长，丢分现象普遍。本文在点差法的基础上，寻求有关弦中点的轨迹，通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系，利用数形结合寻求参量范围的方法

【关键词】弦中点；直线；对称

在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：圆锥曲线上存在两点A，B关于直线l对称求参数范围的问题。对于此类问题关键是抓住点A，B关于直线l对称，对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为-1或k1，k2中一个为0，一个不存在）和线段AB的中点M在直线l上。下面以具体例题对这类问题的解法进行探讨，并提出个人的看法。

例1：已知椭圆C： ，确定m的取值范围，使C上有不同的两点A、B关于直线l：y=4x+m对称。

解法一：

（1）思路分析：由于直线AB与圆锥曲线交于两点AB，所以直线AB方程与圆锥曲线方程联立方程组，得一元二次方程，由△>0求参数的范围。

（2）解题步骤：

设存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线l对称，中点为M（x0，y0）

则AB所在直线为 ，与椭圆方程联立

由上可知：

当-

解法二：

（1）思路分析：由于中点M为相交弦AB的中点，所以可用点差法，求出参数与中点的关系，又中点M在对称直线l上，故可用参数表示中点的坐标代入不等式（根据弦中点位置），求出参数的范围。

（2）解题步骤：

设存在两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线l对称，中点为M（x0，y0）

则

当-

第一种解法是用韦达定理，计算复杂；第二种解法用点差法，找出了弦斜率用弦中点的关系，计算巧妙，但对于双曲线来说，根据弦的中点位置及对应范围求出参数取值范围计算难度较大，题目丢分现象比较普遍。

通过教学实践，这类问题不仅可以用上面两种方法解答，也可以在解法二点差法的基础上，设想寻求有关弦中点的轨迹，通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系，利用数形结合寻求参量范围。

解法三：

解：设存在A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线l对称，AB中点M（x0，y0）

根据点差法（同解法二）

得 y0 = 6x0

于是以 为斜率的平行弦的中点轨迹是直线y=6x在椭圆内部的一段，不包括端点。

与 联立方程组得两交点A1（ ），B1（ ），

问题转化为l与线段 ， 有交点问题。

由图形可知，当l过A1点时，m最大值为 ，当l过B1点时，m最小值为 - ，

例1的解法三提供了一种解决此类问题的新思路，从图形上可以直观地看出结果，真正体现了数形结合思想。那么此种想法是否适合其它曲线呢？

例2：曲线C：x-y2-2y=0上存在关于直线l：y=x+m对称两点A、B，求m的取值范围。

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0）

则有 （1）

（2）

于是以-1为斜率的平行弦的中点轨迹为直线 在抛物线内部的一条射线，不包括端点。

将 代入抛物线方程得交点P（ ， ），

问题转化为l与射线 有交点。

将P点坐标代入l方程得 ，由图形知，m取值范围为

例3：曲线C： 上存在关于l： 对称的两点A、B，求k的范围。

解：当k=0时，l为x轴，由双曲线对称性知 k=0不符合题意，

当 时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0） ，

将A、B坐标代入双曲线方程得

以 为斜率的弦中点轨迹方程为x = -2，直线x=-2与双曲线、渐近线交于点A1，B1，C1，D1，由双曲线对称性可以看出，以 为斜率的弦中点轨迹应是线段B1C1和以A1，D1为端点的两条射线（在x=-2上），显然l过定点C（- 4 ，0）

由图知， 时，l与弦中点轨迹有交点，即C上存在两点A、B关于l对称。

所以

由例2，例3可以看出，在点差法的基础上，寻求有关弦中点的轨迹，通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系，利用数形结合寻求参量范围的方法对圆锥曲线是适用的。

参考文献：

[1]梁玉俊.运用数形结合思想处理一类对称问题[C]. 高考数学：数形结合思想论文，2009.

[2] 戴页瑞.圆锥曲线上两点关于直线对称问题的解法[J].学苑教育，2011年第12期.

[3]吴文尧.求解圆锥曲线上关于直线对称问题的通法[J].中学数学，2007年第9期.