浅谈高中数学中的化归与转化思想

郑柳荣

【摘 要】数学中许多问题的解决都离不开转化与化归。当我们在日常的数学教学中实施等价转化这一化归思想的时候，我们就要在教材中挖掘化归与转化的思想方法，在教学设计中渗透化归与转化的思想方法，在实际教学过程中辩证的对待这一思想方法。把难解决、抽象的问题化归与转化成比较直观的问题。

【关键词】高中数学；化归；问题转化

化归与转化的思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。常见的转化有：利用特殊化的思想来实现转化、用数形结合的思想来实现转化、利用正难则反的思想来实现转化、利用换元法的思想来实现转化、利用函数与方程的思想来实现转化等。

一、利用特殊化的思想来实现转化

一般的问题抽象成立，具体也成立。具体可以得到确切的答案与规律。这种关系在中学数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现。

例1：已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1、a3、a9成等比数列，则 的值？

分析：由题意知，只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件，{an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的.因此，可把抽象数列化归为具体数列.比如，可选取数列an=n（n∈N*），则 = =13-16。

点评：抽象也能求解，但计算较繁锁，易错.因此，把抽象问题转化为具体的简单的问题进行分析，可以很快得到答案从而达到快速的处理问题的效果。

二、用数形结合的思想来实现转化

数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，是数学解题中常用的思想方法之一。

三、利用正难则反的思想来实现转化

在讨论比较复杂的情况时，可考虑先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略.具体地说，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合U，则U的补集即为所求.

一般地说，当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确时，宜考虑用补集的思想方法。

例3：已知三条抛物线 ， ， 中至少有一条与x轴相交，试求实数m的取值范围。

解题分析：即补集分析，从全集中去掉那些不合题意的解集，“结论”的反面，三条抛物线都不和x轴相交相对于命题本身更简单明确，这样就转化为我们比较熟悉的二次函数根的问题。

解：从题设的反面“三条抛物线都不和x轴相交相”出发，设三条抛物线的判别式分别为

则有： 解之得

∵ 为抛物线 ∴

根据补集的思想 故m的取值范围是

点评：教学中发现学生在运用补集法求解一些问题时易出现一些不易觉察的错误，结果导致错解发生，特别是本题中的隐含条件 是极易被忽视的地方。

四、利用换元法的思想来实现转化

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

五、利用函数与方程的思想来实现转化

函数与方程的思想是求数量关系的主要思想方法。一个数学问题，如能建立描述其数量特征的函数表达式，或列出表示其数量关系的方程式（组）（包括不等式（组）），则一般可使问题得到解答。

六、通过以上示例得出化归与转化应遵循的基本原则

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；

（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；

（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；

（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；

（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

总而言之，化归与转化的思想具有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，需要依据问题本身提供的信息，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径和方法，所以学习和熟悉化归与转化的思想，有意识地运用数学变换的方法，去灵活地解决有关的数学问题，将有利于提高解决数学问题的应变能力和技能、技巧。

参考文献：

[1]聚集数学解题中的转化与化归.高中数理化.2010（7）

[2]浅谈化归思想与高中数学教学.教师.2009（16）