例谈高考多元最值问题的常用破解方法
2016-11-19胡凤琼刘少平李艾清
胡凤琼 刘少平 李艾清
近年来，多元最值问题深受命题者青睐，活跃在各级各类考试舞台上，它往往是先给出多元变量的约束条件再来求相关多元变量的最值.这类试题由于变量多，涉及的知识面广，综合性强，思维的灵活度高，学生普遍感觉棘手，大多是费尽周折，难以找到解题的思路和切入点，常常是半途而废和无果而终，究其因，关键是不会将多元变量问题转化为熟悉的数学问题和模型来处理.本文试图借助近年的高考和模拟题，来捕捉此类问题中的规律性因素，以期对大家有所帮助.
一、代入消元法
通过等式代入消元，减少变量的个数，化多元函数为一元函数，转化为熟悉的一元函数的最值问题求解.
例1设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，则xyz取得最大值时， 2x+1y-2z的最大值为. （2013山东高考题）
解∵z=x2-3xy+4y2， 又∵x，y，z为正实数
∴xyz=xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤12xy·4yx-3=1（当且仅当x=2y时，取“=”）
∴xyz的最大值为1，此时x=2y
∴z=x2-3xy+4y2=（2y）2-3×2y×y+4y2=2y2
故2x+1y-2z=1y+1y-1y2=-（1y-1）2+1≤1
∴2x+1y-2z的最大值为1.
评注题目变量较多，可将z用x、y表示，再代入目标函数，可以达到减元目的，有效地突破解题困境.
变式训练一设正实数x，y，z满足x2-3xy+4y2-z=0，则当zxy取得最小值时，x+2y-z的最大值为.[2]
二、基本不等式法
根据基本不等式a+b2≥ab（a>0，b>0，当且仅当a=b时等号成立）求最值的要求“和定积最大，积定和最小”，来构造定值求解.
例2若a，b，c>0，且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（ ）（2010年重庆高考题）
解∵12=a2+2ab+2ac+4bc=（a+2b）（a+2c）
≤[（a+2b）+（a+2c）2]2=（a+b+c）2
∵a，b，c>0，故（a+b+c）≥23，a+b+c的最小值为23.
评注通过将已知条件转化为（a+2b）（a+2c）=12构造了积为定值，再利用基本不等式将积式化为和式，使问题自然简捷获解.
变式训练二设x≥0，y≥0，x2+y22=1，则x1+y2的最大值为[324]
三、三角换元
当变量之间的关系较为隐蔽不易发现时，可把问题的条件或结论作形式上的转化，借助三角换元来揭示变量之间内在联系，把问题化难为易，化繁为简.
例3对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时，
3a-4b+5c的最小值为（2014年辽宁高考题）
解由已知可得（2a-12b）2+15b24=c
令2a-12b=ccosθ152b=csinθ
则2a=c15sinθ+ccosθb=2c15sinθ
从而|2a+b|=|c15sinθ+2c15sinθ+ccosθ|
=|3c15sinθ+ccosθ|=|
210c5sin（θ+φ）|=210c
5|sin（θ+φ）|
∴|2a+b|max=210c5，
此时4a2+4ab+b2=8c5
即4a2+4ab+b2=85（4a2-2ab+4b2），整理得4a2-12ab+9b2=0
∴（2a-3b）2=0，即2a=3b，又2a+b=4b=210c5，从而b=10c10.
于是3a-4b+5c=-2b+5c=-
210c+5c=5（1c-
105）2-2≥-2.
评注把题设条件转化为（2a-12b）2+15b24=c的形式，联想sin2α+cos2α=1，实施三角换元，思路自然流畅，解法简洁明快.
变式训练三若x2+2xy-y2=7，（x，y∈R）则x2+y2的最小值为
（2013年浙江大学自主招生试题）[722]
四、柯西不等式法
柯西不等式本身具有二元或多元的形式结构，为
解决多元变量问题提供了思路和方法.
例4设x，y，z∈R+，且x2+y2+z=1，求xy+2xz的最大值.（2010年北京大学自主招生试题）
解由x2+y2+z=1得1-z=x2+y2
∴（2-2z）2=（3+1）（x2+y2）≥（3x+y）2， 又x，y，z∈（0，1）
∴2-2z≥3x+y，则2-3x≥y+2z
∴xy+2xz=x（y+2z）≤x（2-3x）
=13·3x（2-3x）
≤13[3x+（2-3x）2]2=33
当且仅当3x=2-3x，x3=y
1且x2+y2+z=1即x=33，y=z=13时等号成立.
评注通过对已知条件实施恒等变形，配凑出柯西不等式的形式结构，使变量x，y，z之间内在联系显现出来，从而转化为熟悉“和定积最大”问题，轻松获解.
变式训练四设a>0，b>0，c>0且abc=1，求12a+1+12b+1+12c+1的最小值. [1]
五、利用待定系数法的思路来处理
当目标函数可以用给定约束条件中的多元变量的整体来表示时，可以考虑用待定系数法的思路来解决.
例5设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，则x3y4的最大值是（2010年江苏高考题）
解设x3y4=（xy2）m·（x2y）n化简得 x3y4=xm+2ny2m-n
∴m+2n=32m-n=-4得m=-1n=2
x3y4=（xy2）-1·（x2y）2∈[2，27]
∴x3y4的最大值是27.
评注本题通过恒等变形将x3y4变形为关于xy2与x2y的表达式，然后利用整体代换的方法求解，简便易行.
变式训练五设等差数列{an}的前n项和为Sn，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，则S6的最大值为.[42]
六、判别式法
某些多元变量问题，若从方程的角度来审视，使用判别式可使问题巧妙获解.
例6若实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值为（2014年浙江高考试题）
解由a+b+c=0可得c=-（a+b）代入a2+b2+c2=1，
整理得a2+b2+ab=12， 考虑到求a的最大值，可以把上式看成关于b的一元二次方程b2+a·b+a2-12=0.
∵b∈R，∴Δ≥0，即a2-4（a2-12）≥0
解得-63≤a≤63，故a的最大值为63.
评注通过消元，紧扣方程定义，将问题化归为一元方程有解来处理，简洁明了.
变式训练六对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时，3a-4b+5c的最小值为（2014年辽宁省高考题） [-2]
七、逐元突破法
在处理含有多变量问题时，可采取各个击破的战术，先将其中一个视为变量，其余看作参数.从而突出主要矛盾，突破参数的相互制约，化多元问题为一元问题.
例7设a>b>c>0，求2a2+1ab+1a（a-b）-10ac+25c2的最小值.（2010年四川高考题）
解先将c看成变量，b，a看成参数，
令f（c）=（5c-a）2+a2+1ab +1a（a-b），则 [f（c）]min=f（a5）=a2+1ab+1a（a-b）=a2+1b（a-b）
再把b看成变量，a视为参数，
令g（b）=a2+1b（a-b）=1-（b-a2）2+a24+a2，
则[g（b）]min=g（a2）=4a2+a2
最后把a看成变量，令m（a）=a2+4a2，
则m（a）=a2+4a2≥4，当且仅当a=2时取等号.
综上可得，当且仅当a=2，b=22，c=25时，原式最小值为4.
评注本题通过轮流视c，b，a为变量，实施逐一突破，化难为易，思路清晰，通俗易懂.
变式训练七已知x+2y+3z=1，求x2+y2+z2的最小值.[114]
八、拆分添式，合理配凑
有些数学命题，当添加一个适当的数、式或拆分某一式子，就可使命题的实质显露出来，这时应抓住其特点进行添加、拆分，促进直观认识，使之产生解题思维飞跃，从而获得奇思妙解.
例8同例7
解2a2+1ab+1a（a-b）-10ac+25c2
=a2-10ac+25c2+a2-ab+1a（a-b）+ab+1ab
=（a-5c）2+[a（a-b）+1a（a-b）]+（1ab+ab）
≥[a（a-b）+1a（a-b）]+（1ab+ab）
≥2+2=4
当且仅当a=2，b=22，c=25时取等号.
∴原式的最小值为4.
评注本题通过分拆2a2和加减项ab，从而配凑出完全平方式和积为定值的结构特征，成为熟悉的基本不等式模式使问题解决，虽思维要求高，但仍有章可循.
变式训练八若x，y，z∈R+，x2+y2+z2=1，则2xy+yz的最大值为.[32]
九、整体换元
把多个变量的代数式用一个新变量来替换，达到消元（减少变量）的目的，从而获得熟悉的数学模型.
例9已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则ba的取值范围是.（2012年江苏高考题）
解由题设可得：
5c-3a≤bb≤4c-aclnb-clnc≥aa>0，b>0，c>0
两边同除以c得
3ac+bc-5≥0
ac+bc-4≤0bc≥ea/cac>0，bc>0
令ac=x，bc=y，问题转化为熟悉的线性规划问题：
图1已知x，y满足条件3x+y-5≥0x+y-4≤0y≥exx>0，y>0，求ba=yx的取值范围.
先做可行域（如图1）
由3x+y-5=0x+y-4=0得A（12，72）.
此时（yx）max=7，过原点做y=ex的切线，设切点为B（x0，ex0），又y′|x=x0=ex0，则切线方程为y=ex0·x.
将切点坐标代入切线方程得x0=1，故切线斜率为e，则（yx）min=e
∴yx的取值范围为[e，7]，即ba的取值范围为[e，7].
评注本题中涉及的变元有三个，通过两边同除以c实施整体换元，把三元变量问题转化为二元线性规划问题，思维的僵局得以打破，可谓“柳暗花明又一村”.
变式训练九已知实数a，b，c满足条件0≤a+c-2b≤1，且2a+2b≤21+c，
则
2a-2b2c的取值范围是
. [-14，5-172]
十、和差代换
对任意实数x，y，恒有x=x+y2+x-y2，y=x+y2-x-y2，令x+y2=a，x-y2=b.那么x=a+b，y=a-b，这种代换称为和差代换，利用和差代换可使复杂的多元问题变得简单明了.
例10已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=3，则xyz的最大值是.
解由已知条件，消去变量z可得
x2+xy+y2-x-y-1=0 ①
令x=a+b，y=a-b代入①式整理得
3a2+b2-2a-1=0，∴b2=-3a2+2a+1≥0
解得：-13≤a≤1
xyz=xy（1-x-y）=（a+b）（a-b）[1-（a+b）-（a-b）]
=（a2-b2）（1-2a）=（a2+3a2-2a-1）（1-2a）
=-8a3+8a2-1
令f（a）=-8a3+8a2-1，则f ′（a）=-24a2+16a，
令f ′（a）=0，∴a=0或a=23
易知[f（a）]min=f（0）=-1，[f（a）]max=f（23）=527
因此xyz的最大值为527.
评注本题中xyz=xy（1-x-y），式中xy对于解题带来了麻烦，可以通过代数变形x=a+by=a-b，消掉xy项，利用题设转化为关于a的三次函数，利用导数求最值促成问题解决.
变式训练十设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值为.[2105] （2011年浙江高考题）
十一、均值代换
对于含有x+y=m型条件的问题，若设x=m2+t，y=m2-t来代换，往往可获得简捷解法.
例11设a+b=3，求a·3a+b·3b的最小值.
解从数列的角度来分析，a，32，b成等差数列，设公差为d，不妨令b≥a，则有a=32-d，b=32+d（d>0）于是
a·3a+b·3b
=（32-d）·33/2-d+（32+d）·33/2+d（d>0）
=32（33/2-d+33/2+d）+d（33/2+d-33/2-d）
≥32（33/2-d+33/2+d）
≥32·233/2-d·33/2+d=93
∴当且仅当a=b时，a·3a+b·3b取得最小值，最小值为93.
评注本题利用均值代换，化二元为一元，减少了运算量，简化解题过程，从而提高解题速度.
变式训练十一实数a，b，c满足a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值.[13]
十二、利用几何意义求解
某些多元函数最值问题，若单纯从代数角度去审视分析，往往不易寻找解题思路，这时，若根据函数式结构特征，联想与之相应的几何背景和模型，就可让问题迎刃而解.
例12若实数a，b，c，d满足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，求（a-c）2+（b-d）2的最小值.
解目标多元函数（a-c）2+（b-d）2表示两点（a，b）和（c，d）之间距离的平方，根据已知条
件b+a2-3lna=0，c-d+2=0，即点（a，b）和（c，d）分别是曲线y=-x2+3lnx与直线x-y+2=0上的动点，因此问题就转化为求曲线y=-x2+3lnx上点与直线x-y+2=0上点的距离的最小值的平方，
设曲线y=-x2+3lnx在点P（m，n）处切线与直线x-y+2=0平行，则y′|x=m=-2m+3m=1解得m=1或m=-32（舍），故切点P的坐标为（1，-1），且P到直线x-y+2=0的距离为|1-（-1）+2|2=22.
∴（a-c）2+（b-d）2的最小值为8.
评注本题从问题蕴含的几何意义出发，洞察其几何特征，联想对应的图形分析，迅速地把握问题的实质，从而促使我们从数形结合，以形助数中获得形象直观的解法.
变式训练十二若实数a，b，c，d满足a2-2lnab=3c-4d=1，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为
.[25（1-ln2）2]
十三、构造向量法
向量集形与数于一体，既能参与运算又能表示图形，某些多元问题若根据条件和结论的结构特征，合理构造向量并利用向量数量积所蕴含的不等关系处理，也可寻求到独特新颖的解法.
例13设a，b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为（2015年重庆高考题）
解设向量a=（1，1），b=（a+1，b+3），由|a·b|≤|a|·|b|得a+1+b+3
≤2（a+b+4）=32，
当且仅当a，b同向，即a=72，b=32时取等号，故最大值为32.
评注通过构造向量，实现了条件与结论的沟通，把看似与向量无关的问题转化为向量运算来解决，拓宽了解题思路，解法巧妙而自然.
变式训练十三已知x，y∈R，4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.[2105]
十四、反客为主
多元变量问题按常规思维对变量主次区分使我们处于繁难境地时，可从条件与结论的内在联系变换思考方向，视参变元为主元进行研究、推导，可找到问题的突破口.
例14若关于x的方程x2+ax+b=0有不小于2的实根，则a2+b2的最小值为.
解若原方程视作关于a、b的二元一次方程（以a、b为主元，x为参数），那么a2+b2的几何意义是直线x·a+b+x2=0上的点M（a，b）到原点O（0，0）的距离的平方，故a2+b2≥（|x2|x2+1）2=x4x2+1，当x≥2时0<1x2≤14，∴
x4x2+1=1（1x2）+（1x2）2≥165
∴最小值为165.
评注本题视角新颖，通过视a、b为主元，x为参数，迅速抓住解题切入点，实现了知识之间的融合与交汇，促成了问题的解决.
变式训练十四已知a、b∈R，关于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一个实根，求a2+b2的最小值.[8]
十五、构造函数法
多元变量问题，也可根据题设或结论所具有的特征，通过变换和构造恰当的函数，借助函数性质来解决.
例15已知对任意实数x，二次函数f（x）=ax2+bx+c恒非负，若a 解由题意得b>a>0且Δ=b2-4ac≤0有c≥b24a，于是M=a+b+cb-a≥a+b+b24ab-a=（2a+b）24a（b-a）=（2+ba）24（ba-1） 令t=ba（t>1），构造函数f（t）=（2+t）24（t-1）（t>1） 求导得f ′（t）=（t+2）（t-4）4（t-1）2，当1 评注本例通过恒等变形后，构造函数f（t）=（2+t）24（t-1）（t>1），然后借助导函数来求最值，解法完美简洁. 变式训练十五已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1，求M=3a2-a1+a2+3b2-b1+b2+3c2-c1+c2的最小值.[0] 十六、分母换元 当多元函数分母较为复杂，不易变形和计算时，可对分母实施整体换元来改变问题结构，转换成熟悉的不等式模式来求解. 例16设a，b，c为正实数，求a+3ca+2b+c+4ba+b+2c-8ca+b+3c. 解令x=a+2b+c，y=a+b+2c，z=a+b+3c 则x-y=b-c，z-y=c，∴b=x-2y+z，c=-y+z， ∴a+3c=z-b=z-（x-2y+z）=-x+2y ∴a+3ca+2b+c+4ba+b+2c-8ca+b+3c =-17+2·yx+4·xy+4·zy+8·yz≥-17+122 ∴最小值为-17+122. 评注本题直接入手难度较大，通过对分母换元，对问题进行变更，使问题解决变得简单而明朗. 变式训练十六已知a，b，c，d∈R+，求 f（a，b，c，d）=ab+c+d+bc+d+a+ca+b+d+da+b+c的最小值.[43] 以上给出了多元变量函数最值问题的常用方法和技巧，但这些方法和技巧并不是孤立的，而是互相联系和渗透，许多多变元问题解决往往需要综合运用多种方法和技巧，因此要认真领会每种方法实质，灵活应用. （收稿日期：2015-12-20）
