形数结合在中学数学解题中的应用

王合平

【摘 要】数学中两大研究对象“数”与 “形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合贯穿于数学发展中的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远。“以形助数”和“以数解形”这两个方面，相互渗透，不仅使学生掌握解题方法的要领，提高分析问题和解决问题的能力，也广泛应用在其他学科上，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。

【关键词】数形结合思想；中学数学；解题

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，在中学学习中应用数形结合的思想，可以解决很多问题，这里介绍常见几种：

一、解决函数问题

借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

例： 设函数 若f（x0）>1，则x0的取值范围是（ ）

解法2：如图1，在同一坐标系中，作出函数y=f（x）的图象和直线y=l，它们相交于（-1，1）和（1，1）两点，由 f（x）>1 得x<-1或x>1.

通过对比两种解法，对引入数形结合的第二种解法学生更易接受，其直观、形象的优点更加突显出来。

二、解决方程与不等式的问题

处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

例：方程lgx=sinx的实根的个数为（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

提示：画出在同一坐标系中的图象，即可。选（c）

三、解决三角函数问题

有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

例：解三角不等式组

分析：利用三角函数的图像或三角函数线（如图）求解，先求出一个周期上的解再写出全部。

解答：

由图得解集为：

四、解决线性规划问题

线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

例：已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是（ ）

A.2 B.5 C.6 D.8

解析：如图所示，可行域为图中阴影部分（包括边界线），则z=x+y在A点处取得最大值，由得A（3，3），故最大值为3+3=6.

以“形”代“数”虽然存在许多优点，但却无法精确计算，我们一定要注意正确使用。有时草率作图，不注意“数”的精确性与“形”的全面性会导致一些错误结论。

总之，数和形是事物的数学特征的两个相互联系的侧面，通常是指数量关系和空间形式之间的辩证统一。数与形的结合使得代数与几何紧密相联，息息相关，使得数学更具有生机和活力。