从一道小学数学竞赛试题的解答谈起

冯翠华　伍建军

【摘 要】 本文对一个小学数学竞赛问题进行了解题研究和信息技术背景下的解题探索，对于努力了解这类问题的解法的同行以及研究人员，比较有参考价值。使用信息技术进行数学解题，是我们地区比较缺乏的意识与思想。希望本文的写作，能对数学解题以及信息技术背景下的数学教学，起到抛砖引玉的作用。

【关键词】 解题；信息技术；编程

【中图分类号】 G63.22 【文献标识码】 A 【文章编号】 2095-3089（2016）25-0-02

1.问题的提出以及解决

在一次会议期间，有位老师拿了一道数学问题过来求解，是她五年级儿子的小学数学竞赛试题。看到这个问题后，觉得这个问题是一个有一定挑战性的问题，而且该问题可以借助计算机技术求解，是一个比较有意思的一个数学问题。经过深入思考，撰写成文。

问题：若1□□□□-1=1□□□□，其中每个方格可以填0～9中的一个数字，问有多少种填法？

解答：依题意，设前四个方格表示的四位数为x，后四个方格表示的四位数为y，则题目条件变为

设，则y的值由m的值唯一确定。由于x为正整数，故m必须能被整除，即m为2015的约数。因为，，所以m是由5，13，31这三个数字选取若干个（每个数字最多重复选取2个）组成的乘积。

令，解得，所以。

至此，这个问题的解答算是完成了，因为涉及到问题的讲解方法以及信息技术的使用的可能性。为了帮助学生讲解好这个问题，我们对解题的细节和如何利用信息技术解决该问题作进一步探究。

2.问题解决细节的进一步研究

探究问题一 如何确定403的质因数分解？

我们知道，像，等自然数的分解是很简单的，但是对于403就不那么容易。方法是从小到大逐一用质因数检验。对于3，5，11这些数是否是某个数的质因数，很容易检验的，其他的质数我们也可以用除法进行验算。那么，我们又怎么知道403是不是质数，用质数去除的时候，算到那个质数为止？答案是算到为止。事实上，对任何一个自然数c，假如，那么。

所以，对于任何自然数c，如果用以下的质数都进行了检验，没有c的质因数，那么c必定是素数！

探究问题二 如果允许x，y取任何正整数，满足条件的x，y又有多少组？

从来看，y的值越大，x的值也越大，x的值由y的值唯一确定。所以解的组数就是满足条件y的值的个数。由于y的最小正数为1，而且，所以2016m=2015+y。由前面分析可以知道，m必定是的约数。对任何一个自然数K，如果，那么K的正约数的个数为，这可以由高中的乘法计数原理证明。

3.信息技术在解决此问题中的应用

从前面解题过程可以看出，解法的关键是的变形，从而转化为求的约数的问题。如果没有这个变形，那么我们就只能从1000到10000逐一试验了，这大约要算9000个数。用人工来算，这是一件繁杂的事情，但是对计算机来说，这只是小菜一碟。因此我们考虑编写程序来求解。

探究问题三 设计一个算法以及编写程序，求方程的大于999且小于10000的整数解。

从运行结果可以看到，在两种情况下，都与我们前面推演结果相同，至此，第一次程序设计中存在的问题的原因找到了：在求余运算的时候，被除数不能含有变量，否则可能会导致运行结果出错。代数变形“”不仅在人工求解的推演过程中起到关键作用，而且在应用basic编程语言进行计算机对此问题求解时，也是不可或缺的一个变形步骤。

4.关于教学选题讲题的的技巧、方法以及信息技术在数学中的应用的思考

英国数学家，数学教育家哈尔莫斯曾指出，数学的核心是问题和解。我们学习数学，最主要的目的学习怎样解题。通过数学解题的训练，掌握思维的表达形式以及如何思考问题的途径和方法。作为一名数学教师，其平时的最基本的工作就是解题和讲题。一个老师要学会讲题，首先就是能自己解题，否则我们根本不了解解决问题的具体的思维过程，我们的讲解思路就生硬难懂。

在解答完成后，该教师告诉我，这个问题是她小孩的数学竞赛老师在网上看到的一个数学问题，该辅导教师自己也不会解，就拿给了她小孩来做，看看她小孩能否解答出来。通过这个问题，我个人谈谈教师对选题和讲题的方法，以及信息技术在教学与科研中的一些感想。

（1）根据奥苏泊尔的教学认知论，教学要有效果，我们必须知道学生已经掌握了哪些知识，也就是教师必须要了解学生的知识最近发展区，从而站在学生的角度教会学生学习新的知识。通过前面的解题分析以及探究，我们不难看出，要讲解好这个问题，首先要保证学生至少要掌握一些必要的小学数论、初中的二元一次方程以及代数变形的知识，如果学生没有这些基础知识作储备，我们的讲解学生根本就听不明白和理解，我们的讲解是也就几乎没有任何效果。我不知道某些小学奥数教师对这个问题是否有其它巧解的特法，即使我们教师有该问题的特别解法，如果我们为了仅仅为了学生在数学竞赛时的获得更好成绩，将一些特别解法法硬塞给学生，并且让学生们记住了某个解题方法。但是如果该解法不具备一般性的话，这对于提高学生的知识水平和能力，对于我们的数学教学以及数学教育，又有何价值和意义？

（2）如果一个所教教师都不懂，都不会解的题目，我们有必要将这些问题拿给学生解吗？如果只是一个两个问题，可能影响还不是很大。我们不排除个别数学问题，教师不会解，但是学生解决了。事实上历史上的杰出数学家，他们往往解出了人类在他们那个时代还没有解决的数学问题。问题是，天才是极个别的，如果我们在教学过程中，经常给学生解他们并不具备解决该问题的知识和能力的数学问题，不按照学生的认知规律教学，久而久之，势必会挫伤学生学习数学的自信心和积极性。

（3）F.克莱恩认为，教师掌握的知识要比他所教的多得多，才能引导学生绕过悬崖，渡过险滩。作为一名培优教师，尤其是作为一名数学奥林匹克竞赛培训教师，更需要高强的数学知识水平和能力。因为很多时候，我们要讲好一个数学问题，不仅要了解其所需要的知识以及其结构，更要了解其问题的来龙去脉和背景，了解其对学生学习数学的潜在价值和意义。只有这样，我们才算把数学解题讲好，把数学教好，让数学真正的在培育人的过程中起到应有的作用。

（4）对于数学解题，很多教师还存在比较陈旧的思想和观念，认为解题只能是使用人工推演的方法，没有使用信息技术解决数学问题的思想和意识，不会主动学习和利用信息技术进行解题。事实上，该问题还可以使用mathmatica软件求解如下：

高中数学教科书必修三里面已经有了“算法初步”一章，我们的很多教师却把“算法初步”这一章里面的算法教成了程序框图，考试考什么，他们就教什么，应试思想严重，不能站在培养学生的核心科学素养的更高的起点上去进行教学。

作为一名数学教师，我们应该具备广阔的视野和时代紧迫感，主动学习一些新的信息技术知识，丰富我们的教学方法和手段。在中学教学中，比如《几何画板》、《超级画板》、mathmatica等都是非常值得我们学习的软件，它们对我们的教学与科研可以起到很大的帮助作用。除了与时共进的掌握新技术外，我们还需要了解一些基本的数学史，《古今数学思想》、《西方文化中的数学》这些是非常好的著作。如果我们了解了计算机在解决“四色问题”和“费马尔猜想”中起到关键作用的历史，我们在教授辗转相除法时，我们就不会只是教会学生利用该法如何人工求最大公约数，而不教学生如何利用算法进一步编程来求任意两个数的最大公约数方法，我们的教学将更鲜活与厚重。

面对新的教育形势，我们要抓住机会，开拓进取，在教育教学教学活动中充分学习和利用新的技术和方法，只有这样，我们的教育才真正的面向未来，面向现代化！

参考文献：

[1]R.柯朗 H.罗宾著.左平，张饴慈译.什么是数学[M].上海：复旦大学出版社，2011.12

[2]莫里斯.克莱恩著.张理京等译.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，2014.1