教学数学的发展及其应用

苏拥英

【摘 要】 数学教学改革的方向和重心从教育教学的一般性原理调整至现今很多学者关注数学内容改革上，尤其涉及教育数学的发展，并取得一些的成就，本文就其成就谈了教育数学的突出特点和贡献：在数学学科知识上发展网状的逻辑知识结构，强化学生的认知；方法更普遍、解题更简洁、知识起点低；相关成果也可用于解决了机器证明领域的国际难题。

【关键词】 数学教育；教育数学；PCK理论

【中图分类号】 G64.23 【文献标识码】 A 【文章编号】 2095-3089（2016）25-0-02

数学教育在基础教育中有着重要的地位和价值，近半个世纪以来世界各国特别是发达国家为提高中小学生的数学素质做了大量的研究和实践。美国等西方国家先后提出并实践了“新数运动”、“回到基础”、“问题解决”、“建构主义”等多种思想，这些思想都在不断调整着数学教学改革的方向和重心。但这些主要是集中在对数学是基础性或应用性的把握，或者是在数学教学方法上，所取得的效果也不是非常明显，究其原因，可能是其改革和研究内容偏重于教学一般性原理而忽略了数学内容本身。

这些数学教育的研究主要关注教学模式与方法，但很少关心数学内容的处理与创新。近三十年来出现了一些变化，国际上对数学教育研究的总趋势是从一般理念认识转向关注学科内容；从哲学和心理学层面的原理性研究发展到深入结合具体数学内容的教与学的方法论研究。

自上世纪80年代以来，数学教育界开始研究学科内容教学知识在教师工作中的重要作用。1986年，舒尔曼提出PCK（Pedagogical Content Knowledge）理论，提出重视学科内容在教学中的重要性。近30年来，此方向仍在深入发展。例如，MargaretKendal和KayeStaeey曾于1996年做过一项三角函数定义教学的比较研究，结果显示，从概念发展的角度看，用比值法教学很难让学生的研究对象（角）超越第一象限，而单位圆法则不存在这样的问题，无疑对深入学习三角函数更有帮助。这表明，关注数学内容变化对学生影响的研究在数学教育中日益受到重视。虽然PCK理论意识到关注学科内容对教学活动的重要性，但它没有重视数学内容在教育活动中的整合与创新的可能性和重要性。例如，上述研究仅仅限于比较三角函数的两种定义方法，但没有去探索更适合教学的三角函数的其他定义方法。张景中于1974年发现利用面积方法推导三角函数概念与某些公式，能很好地把几何、三角和代数联系起来，有助于学生理解概念，提高解题能力，并增强思考的乐趣。他所发现的面积解题法为中学数学竞赛所采用，成为有效的解题工具之一。1989年张景中把这些做法和其他教学经验结合，首次提出了“教育数学”的概念和思想方法，其思想是为了教育把数学变得更容易，其任务为“改造数学知识结构使之更适宜于教学和学习”。这些思想获得不少一线老师的认同，并于2004年成立了中国高等教育学会教育数学专业委员会，由此创设了一个新兴的研究领域。

张景中于2006年发表“重建三角，全局皆活”一文，提出“三角函数新定义体系”。后又出版《一线串通的初等数学》（科学出版社，2009），详细阐明具体的教学改进方案。教育数学不仅在初等数学领域有进展，在高等数学领域也取得了不少进展，如微积分方面，第一代牛顿和莱布尼茨创建的微积分在“说不清楚”的情形下发展了130多年，第二代柯西和魏尔斯特拉斯建立的严谨的极限理论基础上的微积分，在“听不明白”的情况下，又发展了170多年。近年来，中国学者林群、张景中等从平凡的事实出发，不用极限和实数，直截了当地建立了第三代微积分，使得在学习微积分的过程中既能“说得清楚”、又能“听得明白”。

最近，美国Otterbein大学童增祥教授，在长期的数学教学实践和数学教育研究中，认识到数学内容本身优化的重要性，对中国学者张奠宙提倡的重视双基，及张景中提出的教育数学理论观点表示认同。他不仅发表了一系列有关教育数学的论文，而且在Otterbein大学成立了美国第一个教育数学研究生班，从事教育数学的研究与实践，并发表论文阐述教育数学的观点[1-3]，认为美国的数学教育也需要引入教育数学。

下面就结合教育数学的具体内容和方法，谈一下其突出特点和贡献：

一、发展网状的逻辑知识结构，强化学生的认知

数学学科教材的知识结构是教材编写者赋予的知识路线，一般的编写者都是按照学科的知识发展历程对知识点进行编排，但是否这样的知识结构更符合学生的认知呢？未必。从学习心理学角度来看，学生在学习过程中，是将新知识与原有的旧知识进行匹配，进行着“同化”和“顺应”的过程，在学习过程中，更讲究知识点之间的联系，即新知识与旧知识产生出越多的联系，新知识就越容易被接受和巩固。

所以在知识结构的安排过程中，更多的需考虑知识点的联系和融合，将不同的知识点整合到一起，衍生出各种不同角度的“关系”，如初等数学中几何、代数和三角的知识，是在不同的历史时期，不同的地域分别形成的，它们有各自的体系、术语和符号，这些知识曾经构成初等数学里的三门数学课程。后来，在课程表上三者合而为一，统一叫做数学。但仍是在不同的学期分别进行教学。基本上各自保持着自己的体系。三门科目都被分解成若干模块并组合起来成为不同学期的课程。但这样简单的合并，并没有起到促进数学教学的效果。[4]

教育数学在此方面工作就是把这三门科目的知识点有机地融合在一起，实现知识的串通，形成网状结构，具体方案是将三角的知识提前引入，串通了初等数学大部分的知识点，尤其是几何部分的定义、定理等知识点，使得知识点之间的逻辑结构更加简短、优化，更利于理解和解题，从而强化学生的认知。

二、方法更普遍、解题更简洁、知识起点低

在教育数学的研究过程中，产生了一系列解题工具和方法，同时基于此理念开发出教育软件。

张景中等在研究过程中，发现了“面积法”解决题目的规律，用面积来定义正弦等办法，进而发展了“共边定理”和“共角定理”等工具（下面两例即为使用“共角定理”和“面积法”来证明题目），使得解题过程更为简洁，知识起点更低。

在研究教育数学的历程中，张景中团队还开发了一套适合于中小学师生使用Z+Z教学软件--supersketchpad，该软件擅长于作图、计算，更突出的是它强于推理和自动证明几何题，这些功能都优于几何画板。

三、相关成果解决了机器证明领域的国际难题

张景中在指导学生解决几何问题时，总结出用面积关系解题的规律，在这些规律的基础上，1992年提出了消点法，并和周咸青、高小山合作，创建了可构造等式型几何定理可读证明自动生成的理论和方法，并在计算机上实现，同时在多个国家的相关系统中得以应用，解决了机器证明领域可读证明的国际难题。这个教育数学研究成果解决的难题，使得机器证明领域在继“吴方法”后又一次掀起了高潮。

“教育数学”理念的正式提出至今也才短短的20多年，就已改善和解决了数学教学领域、软件领域乃至数学机械化领域的很多问题，其成果的实践和运用在诸多方面都取得了良好的效果，展现出其极广的应用性和顽强的生命力。

在数学学科领域，还有很多问题待解决，还有很多难点待攻克。同样在数学教育领域，还有很多课程和知识的难点没有简化或优化，很多原生态的数学知识没有被改良，“教育数学”还有很多的工作要做。

参考文献：

[1]童增祥，Promoting Research in Educational Mathematics[R]， AMS Eastern Sectional Meeting， 2014

[2]童增祥，Why Do Chinese Students Excel on International Mathematical Olympiads？ --- Mathematics Education in China[R]， at the AMS-MAA Annual Joint Meetings， 2009

[3]童增祥，在美国传播教育数学的理念[R]，在中国教育数学年会上的书面报告，2014

[4-]张景中著，走进教育数学—几何新方法和新体系[M]，科学出版社，2009