随机非线性系统的在线修正参数预测滤波PID控制

侯小秋

(黑龙江科技大学 电气与控制工程学院， 哈尔滨 150022)



随机非线性系统的在线修正参数预测滤波PID控制

侯小秋

(黑龙江科技大学 电气与控制工程学院， 哈尔滨 150022)

针对一类随机NARMAX模型，分析了其可采用PID控制的约束条件。提出采用辅助模型的可克服算法病态的遗忘因子递推最小二乘算法对被控对象进行参数估计，利用动态切平面逼近的预测算法对系统输出进行预测，基于一具有预测控制性能的增量型预测滤波PID控制算法，根据可克服算法病态的直接极小化指标函数自适应控制算法和Robbins-Monro算法，给出了具有在线修正PID控制参数和加快PID控制参数收敛速度的随机NARMAX模型的自适应预测滤波PID控制算法。仿真研究表明：因给出的PID控制算法具有预测控制性能和在线修正参数性能，故系统具有较好的控制品质。

自适应控制；预测控制；PID控制；参数估计；动态切平面逼近；随机NARMAX模型

0 引言

已有许多文献研究了PID控制的理论和应用问题，其技术的关键核心是PID控制参数的离线整定和在线修正及优化，结合近代控制理论已提出一些PID控制算法。文献[1]研究了单变量CARMAX模型在线修正参数的自适应PID控制，但所提出的算法不具有预测控制性能和滤波性能，指标函数中只含有输出的当前值，不具有加快PID控制参数的收敛速度的性能，但算法对随机干扰的性质要求低。文献[2]研究了具有预测控制性能和滤波性能，并且具有加快PID控制参数收敛速度的单变量随机线性系统的直接极小化指标函数的在线修正参数的自适应PID控制。文献[3]研究了多变量CARMAX模型的直接极小化指标函数的自适应PID控制。本文提出一种具有预测控制性能和滤波性能，并且具有加快PID控制参数收敛速度的直接极小化指标函数的随机NARMAX模型的自适应预测滤波PID控制。

1 随机NARMAX模型的参数估计和预测算法

1.1 随机NARMAX模型

文献[4]分析了随机NARMAX模型的难以确定性，提出一个实用的随机NARMAX模型

(1)

式中

式中：t——离散时刻；

y(t)——系统输出；

u(t)——系统输入；

Y(t-1)——系统输出集合；

U(t-d)——系统输入集合；

θ——未知参数；

d——系统时滞；

ω(t)——平稳随机干扰；

f(…)——一般函数；

n1,n3——阶数。

且

(2)

式中：e(t)——零均值，方差为σ2的白噪声序列；

A2(q-1),C(q-1)——多项式。

而

A2(q-1)=1+a2,1q-1+…+a2,n2q-n2,

C(q-1)=1+c1q-1+…+cncq-nc。

式中：n2,nc——阶数；

a2,i,ci——系数。

1.2 可克服病态的递推最小二乘算法

采用辅助模型的可克服算法病态的遗忘因子递推最小二乘算法。

由式(2)得

(3)

式中

(4)

(5)

由式(3)代入式(1)得

(6)

则式(1)的待估参数向量θ*为

(7)

(8)

式中：p——θ*的维数。

则改进的准则函数为

(9)

式中：N——离散时刻；

μ——遗忘因子；

JN(θ*)——参数估计的准则函数。

而

(10)

[5]可得

(11)

(12)

由式(3)得

(13)

式(11)中的P(N),φ*(N)为

(14)

(15)

(16)

综上分析，由式(3)～(16)构成辨识θ,A(q-1),C(q-1)的非线性可克服算法病态的遗忘因子递推最小二乘算法。

1.3 预报算法

在工作点U0(t-d),Y0(t-1)处，对式(1)的非线性系统用动态切平面逼近[4]

(17)

式中

式中

式中

(18)

Gj(q-1),Fj(q-1)——多项式。

(19)

式中Gj(q-1)和Fj(q-1)由递推Diophantine方程确定

C(q-1)=A(q-1)Fj(q-1)+q-jGj(q-1),

式中

Fj(q-1)=1+fj,1q-1+…+fj,(j-1)q-(j-1),

Gj(q-1)=gj,0+gj,1q-1+…+gj,ngjq-ngj。

式中：ngj——阶数。

1.4 采用PID控制的约束条件

由式(1)可知当如下条件成立时，可采用PID控制。

∀Y(t+d-1),U(t),θ。

(20)

2 增量型预测滤波的PID控制

(21)

式中：

式中：h1,s0,s1,s2——可调参数。

则控制器可调参数向量η为

3.1 梯度表达式

式(1)两边对ηi(i=1,2,3,4)求偏导

(22)

式(18)两边对ηi(i=1,2,3,4)求偏导

(23)

式(21)两边对h1求偏导

(24)

式(21)两边对si(i=0,1,2)求偏导

(25)

3.2 二阶导数矩阵表达式

式(22)两边对ηp(p=1,2,3,4)求偏导

(26)

式(23)两边对ηp(p=1,2,3,4)求偏导

(27)

式(24)两边对h1求偏导

(28)

式(24)两边对si(i=0,1,2)求偏导

(29)

式(25)两边对h1求偏导

(30)

式(25)两边对sp(p=0,1,2)求偏导

(31)

4 在线修正参数的预测滤波PID控制

参考文献[2]的可克服算法病态的直接极小化指标函数自适应控制算法可得如下自适应预测滤波PID控制，

(32)

ρ(t)——收敛因子；

Q(t)——Hessian矩阵；

λ——加权因子。

(33)

式中：λ(t)——控制器可调参数向量增量约束项的权重对角矩阵。

(34)

5 仿真研究

被控对象为

式中参数θ1,θ2,c1,a2,1的形式为

(0≤t≤400)

随机干扰e(t)～Ν(0,1/10)

系统的参考输入

r(t)=(-1)·^round(t/100),

输入的饱和限幅为Umax=0.4

PID控制的初始参数为

直接极小化算法中的Q(0)=100I,λ=50

收敛因子

参数估计的遗忘因子

待估参数的初始参数为

采用MATLAB7.01语言编程实现仿真研究，图1给出PID控制时系统的响应曲线，图2给出PID控制参数的在线修正曲线。由图1a看出，采用无修正参数控制的响应曲线的控制品质差，其超调较大，调节时间较长，而且有振荡。由图1b)看出，在 0≤t<200 时，由于PID控制参数偏离其有效值，造成系统的控制品质不良，表现在系统响应的超调较大，调节时间较长，在200≤t≤400时，因PID控制参数已收敛到有效值，故系统具有良好的控制品质，表现在系统响应的超调较小，调节时间较短。由图2看出，PID控制参数在系统动态时有修正，在系统稳态时无修正，符合算法的物理意义。

6 结束语

1) 提出采用辅助模型的可克服算法病态的非线性遗忘因子递推最小二乘算法。

2) 给出随机NARMAX模型采用PID控制的约束条件。

3) 基于系统模型和增量型预测滤波PID控制算法，给出了系统输出﹑系统输入和系统输出预测值的关于PID控制参数的梯度表达式和二阶导数矩阵表达式。

4) 给出了随机NARMAX模型的在线修正参数的自适应预测滤波PID控制算法，算法的指标函数中含有系统的输出预测值，使算法具有加快PID控制参数收敛到有效值速度的性能。

5) 因所提出的算法的指标函数中含有控制输入的增量约束项，则提出的PID控制算法具有柔化控制量变化减少对系统执行机构冲击的性能。

6) 缺点是较文献[1]的算法对随机干扰的统计性质要求高，要求随机干扰为零均平稳具有有理谱密度的随机干扰，适用范围较文献[1]的算法窄。

7) 算法的BIBO稳定性和算法的收敛性有待研究，并将提出的PID控制算法推广到多变量随机NARMAX模型上。

[参考文献]

[1] 侯晓秋.直接极小化指标函数的自适应PID控制[J].黑龙江科技学院学报, 2008,18(1): 47-50.

[2] 侯小秋.CARMAX模型的在线修正参数预测滤波PID控制[J]. 黑龙江科技大学学报,2015,25(6):686-691.

[3] 侯小秋.多变量CARMAX模型的在线修正参数预测滤波PID控制[J]. 黑龙江科技大学学报, 2016,26(1):68-74.

[4] 侯晓秋.一类非线性随机系统的自适应预测控制[J]. 电气传动自动化, 2012,34(1): 14-18.

[5] 侯晓秋.非线性随机系统具有遗忘因子的递推最小二乘法[J].黑龙江科技学院学报, 2008,18(4):306-309.

[6] 席裕庚.预测控制[M].北京：国防工业出版社，2013:17-23.

(责任编辑 李亚青)

Prognosis-filtering PID Control with On-line Modifying Parameter for a Stochastic Nonlinear System

HOU Xiao-qiu

(School of Electronics and Controlling Engineering, Heilongjiang University of Science and Technology,Haerbin 150022, China)

The constraint conditions being applicable to the stochastic multivariable NARMAX model were analyzed. The parameter estimation of the controlled system was conducted by using the nonlinear multivariable forgetting factor recursive least squares algorithm with solving ill-controlled of the auxiliary model, and the output prognosis of the controlled system was conducted by using the dynamic cutting horizontal approximating algorithm. Based on the incremental prediction filter decoupling PID control algorithm with the characterization of prediction-control, the self-tuning control algorithm of direct minimization index function with solving ill-controlled and the Robbins-Monro algorithm, a prognosis-filtering PID control algorithm with the characterizations of the on-line modifying parameter and the speeding the convergence of PID control parameter due to the index function containing the predicting values of the outputs was developed for the stochastic NARMAX model. The simulative results indicate that the system exhibits very good controlling characterization due to the developed PID control algorithm with the properties of predicting-controlling and on-line modifying parameter

Adaptive control; Predictive-control; PID control；Parameter estimation；Dynamic cutting horizontal approximating; Stochastic NARMAX model

10.16255/j.cnki.ldxbz.2016.04.007

2016-06-22

侯小秋(1965—)，男，黑龙江双城人，黑龙江科技大学电气与控制工程学院副教授，主要研究方向为非线性控制、预测控制、自适应控制。E-mail：hxq71265@163.com

TP 273

A

1005- 0310(2016)04- 0041- 07