基于贝叶斯公式应用问题的比较研究

吴佳+++毛金舟+++李媛++王姝娜

【摘要】对于一道考研真题，比较分析了文献[1]和[2]中的方法，借助MATLAB将随机试验并不直观的样本空间以编程的方式呈现，利用MATLAB仿真随机试验的数值结果进行曲线拟合，拟合结果与文献[1]中的结果非常接近，误差不超过10-3，因此验证了文献[1]中方法是正确的。并通过理论分析指出了文献[2]中方法错误的原因，修正了文献[2]中方法的计算过程，给出了P（ 1|A2）正确的计算公式。理论分析方法能更深刻地理解贝叶斯公式，理论分析结果与文献[1]中方法相同。

【关键词】条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 MATLAB仿真

【中图分类号】O211.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）08-0128-02

文献[1]和[2]中对于同一道概率问题给出了两种解法，分析也是大相径庭，结果迥异。究竟哪种方法是正确的，本文将通过MATLAB数值模拟和理论分析两种方法进行讨论分析，两种方法的结果都与文献[1]相同。文献[1]和[2]中讨论的概率题如下：

例：设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率P。

文献[1]中方法：用事件Hj表示报名表是第j地区考生的，j=1，2，3，事件Ai表示第i次抽到的是男生表，i=1，2。显然A1，A2，A3构成完备事件组，且

P（H1）=P（H2）=P（H3）= ，P（A2|H1）= ，P（A2|H2）= ，P（A2|H3）= ，P（ 1A2|H1）= = ，P（ 1A2|H2）= = ，P（ 1A2|H3）= = 。

由全概率公式得

文献[2]中方法：当H1发生时，P（ 1|A2）= ，当H2发生时，P（ 1|A2）= ；当H3发生时，P（ 1|A2）= ，因此，

以下通过MATLAB数值模拟和理论分析论证文献[1]中方法是正确的。

1.利用MATLAB仿真随机试验

利用定义计算条件概率，通过缩减样本空间的方式也可以计算条件概率。本文借助MATLAB将并不直观的样本空间以编程的形式呈现出来，从而实现在缩减的样本空间中计算条件概率。

条件概率满足概率的三个公理化条件，因此条件概率也是概率。根据伯努利大数定律可以得到：在取法条件不变的情况下，相互独立地重复试验多次，在第二次抽取到的是男生表的条件下，第一次抽取到的是女生表的频率近似于其概率。

在MATLAB R2014a环境下进行仿真随机实验，利用40次得到的数值结果进行曲线拟合，拟合函数为y=-2.437×10-11x+0.3279，显然，此拟合曲线（如图1）几乎平行与x轴，y轴截距为0.3279，非常接近0.32787.

两次改变女生数据，通过MATLAB模拟出的概率值依然与文献[1]中结果非常接近（见表1），且误差不超过10-3。 综上，本文认为文献[1]中方法正确，文献[2]中方法错误。

2.理论分析

文献[2]中方法忽略了“先抽到的一份是男生表的条件下”这个条件，错误地认为取自三个地区的概率仍为 ，违背了贝叶斯公式，人为地制造出P（A2|A1|H1）这样不存在的概率。

在先抽到的一份是男生表的条件下，经过计算发现报名表来自第一区的概率为

文献[2]中方法产生错误的另一主要原因是利用不存在的概率，错误地使用贝叶斯公式，“当H1发生时，P（ 1|A2）= ”的确切表述应该是“P（ 1H1|A2H1）= ”。

结合上面两种原因，将文献[2]中方法修正如下：

当H1发生时，P（H1|A2）= = = ，P（ 1H1|A2H1）= ；

同理，当H2发生时，P（H2|A2）= ，P（ 1H2|A2H2）= ；当H3发生时，P（H3|A2）= ，P（ 1H3|A2H3）= ；

3.结论

本文利用MATLAB仿真随机试验的方式验证了文献[1]中方法的正确性，通过理论分析指出了文献[2]中方法错误的原因，修正了文献[2]中方法，给出了P（ 1|A2）又一计算公式：

P（ 1|A2）= P（Hi|A2）P（ 1Hi|A2Hi）。

通过对此问题的研究，有助于加深对于条件概率问题的理解，尤其对于全概率公式和贝叶斯公式的掌握具有实际的指导意义。本文方法可以使学生今后避免犯同类错误，对于教师的教学也具有指导意义。

参考文献：

[1]张宇.概率与数理统计（9讲）[M].北京：北京理工大学出版社，2016.

[2] 李永乐，王式安，季文铎. 考研数学复习全书（数学三）[M]. 国家行政学院出版社，2016.

作者简介：

吴佳（1994-），女，本科。