“现代信号处理”课程中功率谱估计的实验设计

朱周华

(西安科技大学 通信与信息工程学院, 陕西 西安　710054)



“现代信号处理”课程中功率谱估计的实验设计

朱周华

(西安科技大学 通信与信息工程学院, 陕西 西安710054)

针对“现代信号处理”中功率谱估计学习困难的问题,设计并实现了功率谱估计的综合实验,包括经典谱估计和现代谱估计的各种方法。实验设计使学生能更好地理解和掌握本章节的基本理论,并能提高学生的应用能力,实践表明,该实验在课程的实验教学中取得了良好的教学效果。

功率谱估计； 综合实验； 实验设计

“现代信号处理”是信号处理学科高年级或者研究生一年级重要的一门专业课程。随着学科之间的交叉与融合,“现代信号处理”课程已经渗透到现代通信和雷达工程以及控制科学与工程等学科,并促进和带动其发展与进步。功率谱估计是“现代信号处理”课程中很重要的一章,在生物医学信号、雷达信号等领域中有着广泛的应用[1],其理论知识和算法繁杂、公式繁多,学生掌握起来有一定的困难。本文针对上述问题设计了综合实验,包括经典谱估计和现代谱估计的各种方法,并制作了良好的界面,可以深刻、直观地理解各种方法的优缺点。实践表明,该实验设计对增加学生的感性认识、理解谱估计的理论、掌握各种算法、提高学习兴趣能起到积极的作用。

1　经典谱估计

经典谱估计方法包括周期图法、BT法以及周期图改进算法(Bartlett和Welch法)[1-2]。

1.1周期图法

(1)

1.2BT法

(2)

其中

(3)

1.3改进的周期图法

改进的周期图法[3]的主要思想是把一长度为N的数据x(n)分成L段,分别求每段的功率谱,然后再加以平均,最终达到希望的目的，改进的有效的估计值。主要方法有:Bartlett法和Welch法。

1.3.1Bartlett法

Bartlett法[3-4]是先把序列x(n)分成L段,然后计算每组观测数据的周期图,最后将每组的周期图求和,再进行平均作为功率谱的估计。

假设xi(n),i=1,2,…,L为随机过程x(n)的L个互不相关的实现,且每个xi(n)的长度为M,即n=0,1,…,M-1。

这样,xi(n)的周期图为

(4)

将得到的L个周期图进行平均,作为功率谱估计,即

(5)

1.3.2Welch法谱估计

Welch法[5-6]对Bartlett法进行了2点改进。首先,Welch法将x(n)的分段方法进行了改进,它允许每一段的数据与相邻的数据段可以有一定的重叠。其次,每一段的数据加窗可以不是矩形窗,如汉明窗和布莱克曼窗,这样可以改善矩形窗旁瓣较大引起的谱失真。

(6)

U是归一化因子,使用它是为了保证所得到的谱是渐近无偏估计

故Welch法谱估计的表达式为

(7)

对以上方法采用Matlab编程可以看到仿真结果，如图1所示。

图1　经典谱估计算法仿真结果图

从图1中4种估计方法的功率谱图,很明显可以看到直接法效果最差,而Welch法效果最好。

2　现代谱估计

现代谱估计的内容十分丰富,主要有AR模型法、MA模型法、ARMA模型法、PRONY指数模型法等参数模型法以及最小方差法、多信号分类MUSIC法等非参数模型[7-8]。在这里,主要设计了关于AR模型法的3种方法的功率谱估计。

2.1AR模型

AR模型[8]又称为自回归模型,该模型现在的输出是现在的输入和过去p个输出的加权和,它是一个全极点模型。该模型现在的输出是现在的输入和过去p个输出的加权和,时域模型、系统函数以及功率谱公式如(8)(9)(10)所示。

(8)

(9)

(10)

从公式(10)可以知道,AR模型为基础的功率谱估计就必须指导模型阶次p和p个AR系数以及模型激励源的方差σ2,而将这些参数和自相关函数联系起来的就是Yule-Walker方程。

2.2Levinson-Durbin递推算法求解AR模型参数

Levinson-Durbin递推算法[8]是一种比较快速求解Yule-Walker方程的递推算法,其基本方法是依据Yule-Walker方程和自相关序列的递推性,逐次增加模型的阶数进行递推计算。当低一阶的AR模型系数已知时,可由递推来得到高一阶的AR模型参数。先计算m=1时的预测系数a1(1)和ρ1,然后计算m=2时的预测系数a2(1),a2(2)和ρ2,一直计算到m=p阶的预测系数aP(1),aP(2),……,aP(P)和ρp。当计算满足要求时就可以停止递推。

Levinson-Durbin递推算法如下:

(11)

(12)

(13)

从上面3个算法公式可知,运用Levinson-Durbin算法时,需要知道自相关函数,同时还需要给定初始值以及AR模型的阶数p,实际应用中,常需根据信号的有限个取样值来估计AR模型的参数,应用的最多的有3种方法:自相关法、Burg法、协方差法[9]。

2.2.1自相关算法

自相关法是求解AR模型参数最简单的一种方法,其出发点是选择AR模型的参数使其前向预测误差的功率最小。然后再由Lenvison-Durbin算法来解的AR模型的参数,最后将求得的参数代入AR模型信号的功率谱表达式(10),求出功率谱。

2.2.2Burg法

自相关法需要先由观测数据估计出自相关函数,Burg算法不需要对自相关函数估计,直接用前后向线性预测系数的递推关系,求出反射系数,再由之前的递推算法求得AR模型参数。由于Burg算法避免了估计自相关函数,使得其短数据的谱估计比自相关法要精确。

2.2.3改进的协方差法

改进的协方差法是令前后预测误差功率之和为最小来估计出AR模型参数,进而求得估计信号的功率谱。改进的协方差法除了计算协方差系数cxx(j,k)不同外,也不可用Levinsion递推算法求解,改进的协方差法适合估计正弦波频率。虽然能够得到高分辨率且统计稳定的谱估计,但计算较麻烦,编程也较困难[9]。

对以上方法采用Matlab编程仿真,可得到如图2所示的结果。由图2结果可知,Burg算法比自相关算法有着较好的分辨率。改进协方差法的分辨率要优于自相关法,能够有效地估计正弦信号。

图2　现代谱估计算法仿真结果图

3　界面设计

为了让学生在实验中掌握界面设计的方法,更好地对比各种方法的性能,对经典谱估计和现代谱估计利用Matlab中的GUI功能可设计界面[10-11]图3、图4所示，分别为经典谱的估计算法比较和现代谱估计中AR的3种方法比较的界面设计。

在图3中,上面坐标轴显示加有高斯白噪声的正弦信号时域图,下面坐标轴显示经典谱估计中周期图法、BT法和Welch法的功率谱图形的比较,可以明显看到,Welch法的分辨率要优于其他2种方法,在图4中,也可以看到协方差法明显优于其他方法。

图3　经典谱估计法比较

图4　AR谱估计法比较

4　结语

综上所述,通过对功率谱估计算法的学习,利用Matlab及其GUI功能所设计并实现各种算法的功率谱估计并加以比较,可以很清晰明了地看到算法的分辨率高低及其方差的大小,这样在具体实践中就可以选择合适的算法[12],使学生有效地将理论与实践结合在一起,激发了学生的学习兴趣和学习动力,为后面相关方向的研究奠定坚实的理论基础。

References)

[1] 姚天任,孙洪.现代信号处理[ M] .武汉:华中科技大学出版社,1999.

[2] John G Proakis,Dimitris G Manolakis.数字信号处理:原理、算法与应用[M].3 版.张晓林,译.北京:电子工业出版社,2004.

[3] 沈捷,王莉.数字信号处理教学实验软件包的GUI设计与实现[J].实验技术与管理,2008,25(2):88-91.

[4] 张贤达.现代信号处理[ M] .北京:清华大学出版社,1995.

[5] 肖天赐.现代谱估计原理与应用[ M] .哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1991.

[6] 沈凤麟,叶中付,钱玉美.信号统计分析与处理[ M] .合肥:中国科技大学出版社,2002.

[7] 杨蔚原.Welch功率谱估计方法的参数选择[J].环境技术,2009(5):23-27.

[8] 伊鑫,曲爱华.基于Welch算法的经典功率谱估计的Matlab分析[J].现代电子技术,2010(3):7-9.

[9] 施晓红,周佳.精通GUI图形界面编程[ M] .北京:北京大学出版社,2003.

[10] 张佳明,马秀荣.非参数模型谱估计算法性能比较J].天津理工大学学报,2009,25(4):19-22.

[11] KAY S M.Modem spectral estimation:theory and application[M]. NJ:Prentice Hall,1998.

[13] Laguna Moody Mark. Power spectral density of unevenly sampled Heart rate data[J].Digital Object Identifier,2002,1(2):157-159.

Experimental design of power spectrum estimation in Modern Signal Processing course

Zhu Zhouhua

(School of Communication and Information Engineering ,Xi’an University of Science and Technology, Xi’an 710054, China)

Aiming at the problem of learning difficulties on the power spectrum estimation in the Modern Signal Processing course, the experiment of spectrum estimation is designed and realized. It includes classical spectral estimation and modern spectral estimation methods. The design of experimental enables students to better understand and master the basic theory of this chapter,and can improve the students’ application ability. The practice shows that the experiments have a good effect in the teaching of the course.

power spectrum estimation; comprehensive experiment; experimental design

10.16791/j.cnki.sjg.2016.09.047

2016-03-10

省级质量工程“电子信息工程专业综合改革试点项目”(陕教高[2014]15号)；西安科技大学2013年度校级研究生精品课程项目“数字信号处理(2)”(7305002)

朱周华,(1976—),女,陕西蒲城,硕士,副教授,硕士生导师,主要研究方向为信号处理及实现.

E-mail：zhuzhouhua@xust.edu.cn

TN911.72

A

1002-4956(2016)9-0178-04