一种变质心高速旋转炮弹鲁棒姿态控制律*

默朝明，王晓芳，林海

（北京理工大学宇航学院，北京100081）

一种变质心高速旋转炮弹鲁棒姿态控制律*

默朝明，王晓芳，林海

（北京理工大学宇航学院，北京100081）

针对采用变质心技术的高速旋转炮弹的姿态控制问题，提出一种基于扩张状态观测器的动态面控制方法。根据由弹体和单滑块组成的多体系统的特点，建立了系统的姿态动力学模型，并对其进行了合理的简化。将系统的滚转通道引起的强耦合、建模误差及外部扰动等视为未知不确定干扰，并且考虑由于炮弹尺寸限制而引起的多体系统控制输入（滑块位移）的有限性，设计了扩张状态观测器和辅助系统，分别对系统的干扰进行观测以及处理控制输入的有限性，综合动态面控制技术设计了姿态控制律，最后基于李雅普诺夫稳定性原理证明了控制器的稳定性。仿真结果表明，该控制器能够在克服干扰的前提下快速稳定地跟踪指令信号，具有良好的控制精度和鲁棒性。

变质心，高旋炮弹，姿态控制，动态面控制，扩张状态观测器

0　引言

高速旋转炮弹（以下简称高旋炮弹）具有造价低廉、火力大等特性，但也存在射击精度低的缺点，为了适应现代战争的需求，实现对高旋炮弹的制导化势在必行［1-2］。变质心（质量矩）控制技术是指通过改变弹体内部的活动质量块的位置，从而产生控制力和控制力矩，进而实现对炮弹的姿态控制和弹道修正［3］。与传统的气动舵控制相比，变质心技术可以很好地保留炮弹良好的气动外形，并且具有响应快、无舵面烧蚀、降低气动阻力等优点［4］。

尽管变质心控制技术有如上诸多优点，但由于质量块的运动，使得包含质量块和炮弹弹体的多体系统变为一种强耦合、非线性并且存在不确定干扰的系统，采用变质心技术对高旋炮弹进行姿态控制的研究成果并不多见。文献［5］提出了动态方程和静态方程的概念，首先将变质心高旋弹头的姿态动力学方程线性化，然后设计了满意控制律；文献［6］基于动态逆理论对变质心高旋弹头的非线性姿态动力学模型进行了解耦，并对解耦后的线性系统应用极点配置法设计了PID控制器；文献［7］根据时间尺度对变质心高旋弹的姿态回路进行了时标分离，内环依据黎卡提方程设计了最优控制器，外环则设计了滑模控制器；文献［8］建立了带有两个滑块的变质心旋转弹的数学模型，设计了PD姿态控制律并基于神经网络自学习能力对控制器参数进行了在线调整；文献［9］在对变质心高旋炮弹建模的基础上，以滑块的加速度作为控制量设计了自适应滑模姿态控制器，仿真验证了控制器的有效性。文献［5-8］均未考虑由系统建模误差及不确定干扰引起的控制器的鲁棒性问题，文献［9］针对系统干扰设计了自适应更新律进行估计，但仿真结果表明控制输入存在抖振问题。因此，在考虑炮弹更多的实际飞行情况的前提下，设计能及时有效地克服扰动且具有较好的控制精度和鲁棒性的姿态控制器具有重要意义。

扩张状态观测器（ESO）技术是由韩京清提出的，自抗扰控制方法［10］（ADRC）的设计关键，是通过选择ESO的参数，可以将系统的不确定项扩张成新的状态变量，并实现实时估计，从而为处理系统扰动提供了新的方法。本文针对变质心高旋炮弹姿态动力学模型的强耦合、强非线性的特点，取滑块径向位移为控制量，采用动态面控制理论，设计了高旋炮弹的姿态控制器，并设计ESO对系统干扰进行估计和补偿，通过仿真验证了控制器的有效性。

1　系统描述

系统建模所用到的坐标系包括：地面坐标系O1xEyEzE、弹道坐标系Ox2y2z2、弹轴坐标系Oξηζ、弹体坐标系Ox1y1z1、第二弹轴坐标系Oξη2ζ2、理想弹道坐标系，各坐标系的定义见参考文献［11］，考虑到篇幅原因，这里不再赘述。

不失一般性，以带有一个质量块的高旋炮弹为例进行说明。基于变质心技术的高旋炮弹可视为一个多体系统，该系统由两部分组成：一部分是高旋炮弹弹体，可视为刚体；另一部分是可以在弹体内部预留的空间内移动的质量块，该空间由一个套筒包围，套筒不随弹体滚转，本文将质量块作为质点处理，不考虑其惯量张量。系统示意图如图1所示。

图1　带有一个质量块的高旋炮弹示意图

由于扩张状态观测器（ESO）不依赖于系统模型，将系统的干扰项作为扩张的状态量，进而有效地对系统干扰进行估计和抑制，因此，本文采用基

d1、d2为包含模型简化引起的建模误差、滚转通道引起的耦合项及外部干扰的扰动项，可视为连续有界扰动。

②系统的总质量为m，质量块的质量为mA，质量比μA=mA/m；

回顾患者的一般资料和临床资料，患者一般情况包括年龄、身体质量指数(body mass index，BMI)。患者临床资料包括：既往基础疾病及预后计算出CCI(参照2016年Roffman的CCI评分[11]，见表1)、前列腺癌特异性抗原(prostate-specific antigen，PSA)、肿瘤临床分期(2010年AJCC前列腺癌肿瘤TNM分期标准[12])、穿刺病理分级(ISUP 2014 Gleason分级系统[13])、手术时间、手术失血量、术后病理切缘阳性情况，根据患者RP术后5年后患者患者的生存预后情况分成生存组与死亡组。

（3）生产运营阶段：具体生产环节是危险源辨识的重点对象，由于生产过程包含了人、机、料等多方面因素，生产过程繁琐而交叉，一旦触发危险因素将会造成严重的经济损失，甚至发生人员伤亡事故，导致前功尽弃，所以要准确辨识包括设备运行能力及状态、技术应用有效性、人员操作流程及细节、异常工况、当前控制方案的适用性等在内的风险，加强控制与完善，从而实现安全生产的目的。

③在弹轴坐标系下，当质量块位于原点O处时，系统的气动力和外力矩分别为、；

上标A表示矢量在弹轴坐标系下的投影。

2　变质心高旋炮弹的姿态控制模型

由动量矩定理，根据参考文献［11］得到系统绕质心转动的动力学方程为：

式（1）左边第3项为由于质心偏移引起的姿态运动耦合项，记为，有

根据参考文献［12］，由质心偏移引起的姿态运动耦合项对炮弹的姿态运动影响较小，此处将其视作干扰项忽略，简化后的姿态动力学模型为：

将式（4）写成标量形式，整理得

式中，气动力矩Mξ、Mη、Mζ的表达式分别为：

笔者观摩了八年级下册第8单元第二节“关注家庭生活、现场急救”一课。这样的课题是对八年级的学生来说，正是确立生命观点和社会责任的最佳结合点。那么，学科核心素养是否能在初中生物课堂中找到落地生根的土壤呢？

式中，δ1、δ2为系统的攻角。对于飞行稳定的高旋炮弹，有δ1≈φa-θa、δ2≈φ2-ψ2。系统姿态角运动方程与参考文献［11］一致，即

差分方程在经济、管理、生物学等领域以及数学学科自身许多分支中都有广泛的应用[1-7]．文[1-3]讨论了差分方程在组合数研究中的应用;文[4]讨论了差分方程在离散型随机变量数学期望及概率计算中的应用;文[5]讨论了差分方程在二阶矩阵的幂、特殊三对角行列式及概率计算中的应用．本文讨论差分方程在矩阵幂、行列式及概率计算中的应用,包括一阶、二阶,特别是三阶差分方程的应用．在一阶差分方程情形,考虑具有任意非齐次项的一阶线性常系数差分方程,给出一种和式解.建立矩阵幂、行列式、概率等满足的差分方程式，并给出了几个应用实例,说明结合数学各分支原有方法和技巧,差分方程方法是解决问题的一种非常重要的方法．

由于炮弹弹体尺寸的限制，活动质量块在其内部的运动是有界的，即满足

控制器设计的目的是在考虑了系统的耦合作用、模型误差及外部干扰的影响下，设计控制输入u，使得炮弹的姿态角φa、φ2能快速有效地跟踪期望的姿态角指令角φad、φ2d。

3　基于动态面和ESO的姿态控制器设计

式中，

对于高旋炮弹，弹丸高速旋转保证其稳定飞行，通常不对其滚转通道进行控制，而且在飞行过程中，其转速也是未知的，因此，取式（5）中的第2式和第3式为控制模型，并将模型中与γ.、ωξ、相关的项并视为系统的未知干扰。定义状态量、，根据式（5）和式（7），得到描述系统姿态运动的控制模型为：

式中，sat（x）函数具有如下形式：

图中，O为炮弹弹体的质心位置，Oξηζ为弹轴坐标系，A为质量块的位置，C为整个系统的质心位置，质量块可以在弹体内部虚线框所示的空间内沿任意方向移动。基于以上描述，对本文研究的系统进行如下说明：

于ESO补偿干扰的动态面理论来设计控制器。步骤1定义动态面

设计反馈控制律为：

式中，k1为动态面增益。由，考虑到炮弹在实际飞行过程中φ2值小于90°，因此存在。为了快速准确地实现对干扰d1的估计，对式（11）中第1式设计二阶扩张状态观测器ESO1：

式中，e1为ESO1对系统状态量x1的观测误差，z11为ESO1对状态变量x1的观测值，z12为ESO1对系统干扰项d1的观测值，β11、β12为观测器的增益，且函数fal（·）满足：

式中，σ＞0、σ＜a＜1，通过适当选取β11、β12可使得，实现对干扰项d1的观测。

结合式（16）、式（15）中的控制律可记为：

为了保证系统的因果性并且改善控制器的动态性能，设计如式（20）所示的低通滤波器对控制信号x2c进行滤波，使得x2能稳定地跟踪滤波后的信号x2d。

式中，为滤波器的时间常数。

步骤2考虑到控制量u存在输入受限问题，构造如下辅助系统

定义动态面

对动态面s2求导，并且考虑到式（11）和式（21）可得

类似于步骤1，设计反馈控制律u：

治疗期间，对照组患者出现8例头晕、5例恶心/呕吐、2例皮肤瘙痒、2例嗜睡，观察组患者出现3例头晕、2例皮肤瘙痒、2例恶心/呕吐。对照组的不良反应发生率(56.67%)显著高于观察组(22.58%)(χ2=7.423，P=0.06)。

水稻是贵州省余庆县大部分乡镇的主要粮食作物，随着农村加快土地向家庭农场、农民专业合作社的流转，农村劳动力显得十分紧缺。水稻直播技术省去了水稻育秧与插秧2个重要生产环节，每亩节省用工4～5个，节省投入360～400元，这一技术不仅节省了大量的秧田和用工，还大大地减轻了劳动强度。将直播技术与科学的田间管理相结合，是一项节本增效、实现水稻产业既增产又增收措施。笔者根据2018年在余庆县菊配家庭农场的示范研究结果，总结水稻直播栽培技术要点以供种植者参考。

式中，k2为动态面增益，z22为ESO2对系统干扰项d2的观测值。由于，因此存在。对干扰项d2设计的二阶扩张状态观测器ESO2如式（25）所示：

式中，e2为ESO2对系统状态量x2的观测误差，z21为ESO2对状态变量x2的观测值，z22为ESO2对系统干扰项d2的观测值，β21、β22为观测器的增益。通过适当选取β21、β22可使得z21→x2，z22→d2，实现对干扰项d2的观测。

4　控制器的稳定性分析

定义边界层误差

（4）完善梯队。学校积极搭建教师成长平台，形成了“校园新秀—优秀教师—杰出教师—首席教师”的金字塔形教师梯队，建立了“广雅名班主任工作室”。同时，学校不断完善评教机制，加强对教师课堂教学的评价，引导教师反思不足和提升短板。

定义扰动观测误差为

由式（14）～式（27），可得

对式（26）求导，可得

这回马脸发飙了，抡起胳膊，左右开弓，把我当个陀螺抽。起初我还能听到啪啪的响声，后来耳朵里只剩下嗡嗡的轰鸣了。马脸打累了，住了手直喘气，掏出根酱色的长烟卷，点着后吧嗒吧嗒抽着。

式中，Δymax、Δzmax分别为质量块沿Oη轴、Oζ轴的最大位移。当考虑系统的输入饱和特性时，式（8）所示的控制对象可描述为：

由于控制输入u是有界的，Δu也是有界的，考虑到μAFAx/A有界，因此，g2也是有界的，记c=g2Δu，则有

式中，c也是有界的，即存在cs＞0，使得。ζ可由下式计算

在党中央、国务院的坚强领导下，玉树抗震救灾工作快速有力有序有效地展开，取得了令人瞩目的成绩，赢得了全世界的赞誉。

我盯着电视不说话。我的内心正在经历一场战争。我怕一开口，硝烟会从嘴里冒出来，烧到阿花身上。阿花全然不知我在燃烧，伸出手扳过我的脸，说难道一个大美女，还没有女鬼吸引你？她身体一动，清香的味道又风起云涌，向我袭来。她已到了虎口，仍不知防范，竟敢来抓我的手。我的手是一根导火索，正在被点燃。

因此，ζ也是有界的，选取较大的设计参数h可使ζ实现有效收敛。

2.2 交叉关系一般概念的比较 在这一节中，有许多交叉关系的一般概念，如DNA与RNA、 3种不同的RNA、 mRNA与密码子等。可利用系列生物图对这些交叉概念进行比较，进而弄清楚其间的逻辑关系。

定义李雅普诺夫函数

对式（35）求导，考虑式（26）～式（30）可得

选择设计参数满足

文献［10］给出了二阶扩张状态观测器的稳定性证明，可知，适当地选取观测器的增益，可使ESO的观测误差趋近于零，即

考虑式（37）、式（38），则式（36）满足

根据比较原理［13］，可知

结合式（37）和式（40）可知，当动态面增益k1、k2取足够大、低通滤波器的时间常数取足够小时，可获得足够大的κ值满足V的界足够小，从而保证理想的控制精度。

5　仿真分析

基于Matlab/Simulink软件，依据文中建立的非线性姿态控制模型和控制器进行仿真验证。由质量块和高旋弹体组成的多体系统的参数包括：系统总质量为m=50kg，质量块的质量为mA=5kg，质量块与系统的质量比μA=mA/m=0.1，弹体长度为l=0.655m，弹体直径为d=0.155 m，质量块的最大位移为Δymax=Δzmax=0.05m，转动惯量参数为C=0.154 kg·m2、A=1.3258kg·m2，质量块的初始位移为rAOA0=［0.1 0 0］m。在炮弹某飞行时刻，速度为v=680m/s，自转速度为γ.=1 400 rad/s，速度高低角θa=50°、速度方向角ψ2=0°，姿态角φa=50.1°、φ2=-0.1°，期望的姿态角指令为φad=50°、φ2d=0°。在本算例中，假定系统的气动参数存在30%的不确定性，并且受到外部常值扰动力矩的作用，取

本文根据工程教育专业认证标准、某化工专业培养计划、结合相关参考文献，以毕业要求3为例描述了毕业要求达成度的评价过程，重点介绍了定量评价过程，但对教学环节的形成性考核方式，尚需要进一步探讨。定性评价部分体系目前还不是很完善，需要通过文献查阅、调研和专家咨询建立完整、可行、细化的评价标准和评价过程。

控制器的设计参数包括：低通滤波器时间常数= 0.05，辅助系统参数h=10，动态面增益分别为k1=20、k2=300。

扩张状态观测器ESO1的参数为：观测器增益β11=200、β12=6 000；扩张状态观测器ESO2的参数为：观测器增益β21=400、β22=2 000。fal（·）函数参数为：a=0.5，σ=0.005。仿真步长取为0.005s，姿态角和姿态角速度变化如图2～图3所示。

图2　姿态角变化曲线

图3　角速度变化曲线

由图2和图3可知，在控制器的作用下，炮弹两个方向上的姿态角均在0.5 s内，良好地实现了期望姿态角指令的跟踪，且具有很小的跟踪误差，表明该控制器具有良好的控制精度、收敛速度和鲁棒性。

图4和图5分别给出了控制量滑块位移和辅助变量ζ的变化曲线。

图4　滑块位移变化曲线

图5　辅助变量ζ1和ζ2的变化曲线

由图4可知，仿真开始时质量块位移Δz出现了限幅，之后脱离限幅，最终收敛为某固定值；Δy则一直在最大幅值范围内变化并且最终也收敛为某非零项。由仿真数据可知，质量块最终收敛的固定位置为Δz=-0.001 3 m，Δy=0.001 3 m。相应地，由图5可知，与Δz对应的辅助变量ζ1在仿真开始时出现了不等于零值的情况，之后一直保持为零；与Δy对应的辅助变量ζ2则在仿真过程始终为零。

(3) 若 G=Mp(n,m,1)则 G′= 〈c〉,G={aibjck:i=1,2,···,pn;j=1,2,···,pm;k=1,2,···,p},其中c∈ Z(G).设aibjck为G的一个p阶元,则有(aibjck)p=(aibj)pckp=(aibj)p=1,由于

下页图6和图7分别显示了扩张状态观测器对控制系统的干扰项d1、d2的估计情况。由图可知，ESO以较高精度实时地估计出系统的不确定扰动项。

图6　扰动d1及ESO1对其估计值z12的变化曲线

图7　扰动d2及ESO2对其估计值z22的变化曲线

仿真结果显示：干扰项d2和控制量（滑块位移）最终均收敛为一个常值。这主要是因为：当系统达到稳态时，ωη、ωζ及系统攻角δ1、δ2均为零，此时，干扰项d2的大小主要取决于外部常值干扰力矩和的收敛值近似等于/A=0.169 7 rad/s2（与仿真数据吻合）。由于均为零，因此，系统所受到的空气动力矩为零，此时由滑块的位移产生的附加力矩来克服外部常值干扰力矩，滑块的位移Δy、Δz也为一固定值。

6　结论

本文针对变质心高旋炮弹的强耦合、强非线性的特点，基于扩张状态观测器技术和动态面控制理论，设计了一种新型的姿态控制器，并基于李雅普诺夫稳定性理论证明了该控制器的渐进稳定性。经仿真验证表明，设计的控制器能够使姿态角快速有效地跟踪期望指令，且具有良好的动态性能；扩张状态观测器的引入使得控制器具有更强的鲁棒性，能够对系统的建模误差、由滚转角速度引起的耦合作用及外部干扰等产生的不确定干扰项进行实时估计并加以补偿。

本文中假定质量块无轴向位移设计了控制器，如何同时考虑质量块的轴向和径向位移设计姿态控制器是下一步研究的重点。

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A Robust Attitude Control Law of Spin-stabilized Projectile with a Moving-mass

MEI Chao-ming，WANG Xiao-fang，LINHai
（Beijing Institute of Technology，School of Aerospace Science and Engineering，Beijing 100081，China）

Aiming at the problem of attitude control of the spin-stabilized projectile with a moving-mass，a controller design method based on dynamic surface and the extended state observer（ESO）is proposed.According to the characteristics of the multi-body system composed of the projectile itself and a moving-mass，the attitude dynamics model of the system is established，and its simplification is gotten based on reasonable assumption.The modelling errors，strong coupling effect caused by moment of the roll channel and the external disturbance are regarded as unknown disturbance of the system.The constraint of control input，i.e.the displacement of the moving-mass，is also considered，which is caused by the limited size of the projectile.An ESO and an auxiliary system are built to estimate the system disturbance and deal with the problem of control input constraint respectively.An attitude controller based on dynamic surface control theory，ESO and the auxiliary system is designed，and the stability of the controller is proved according to Lyapunov stability theory. Simulation results show that the output of the controller can track the command signal quickly and steadily while overcoming the system disturbance，and the controller is of good control precision and robustness.

moving-mass，spin-stabilizedprojectile，attitudecontrol，dynamic surface，extended state observer

TJ765

A

1002-0640（2016）10-0033-06

2015-08-16

2015-09-16

国家自然科学基金资助项目（11502019）

默朝明（1989-），男，河北石家庄人，研究生。研究方向：飞行器制导与控制、飞行力学。