浅议不定积分的解法

孙永涛?张瑛

摘 要：不定积分的求解一直是高等数学的重点，但由于其方法的灵活性和结果的不确定性，又一直是高等数学的难点。针对不定积分求解方法的核心思想——“凑微分”，就其技巧、步骤的形式化方面方面做了相关分析和总结，并給出了一系列行之有效的“凑微分”的形式化步骤和技巧。

关键词：不定积分；凑微分；换元积分；分部积分；高职高专高等数学

不定积分是高职高专高等数学的基本和主要内容，不定积分与求导是互逆的运算，而定积分的计算主要依赖于莱布尼兹公式，而使用莱布尼兹公式的前提是求被积函数的任一原函数。由此可见，不定积分是联系微分学和定积分的一条纽带。不定积分掌握的好坏直接决定了后面的定积分的、多元函数微积分的内容的掌握，亦对后续课程的学习后很大影响。由于不定积分方法的灵活性和结果的不确性，同学们在学习时往往觉得无从下手，因而，我在这里就不定积分的一些解法加以阐述。

不定积分的常规求解求解方法主要包括直接积分法、换元积分法和分步积分法，而经常使用的主要是换元积分法和分步积分法，其核心即——“凑微分”。

换元积分法中的“凑微分”主要体现在第一类换元积分法中，第一换元发法的解题思路是首先利凑成微分形，然后换元使复合函数转化为基本初等函数后在利用积分公式在求积分。求出积分后再还原。其中关键的一步是凑成微分形也是大家感到最困难的一步，因为题中需要才能凑成微分形，不易被观察出。也就无法凑成微分形式了。这正是凑微分的核心。由于“凑微分”方式灵活多样，单单依靠几个常见的凑微分并不能给学生足够的启示，在讲解过程中我们将方法归结三种1.能化成n个函数的乘积；2.不能化成几个函数的乘积；3.能化成几个因式的乘积但难以凑微分。这样学生掌握起来就容易了。

1.遇到一个不定积分的题目，若能直接化成若干个函数的乘积，则挨个观察各个函数能否凑微分，找出合适的求解。

如：求解下面两个不定积分：

（1）=

因，所以前面要有，来和这里出现的2相消=这里

（2）

因=这里

2. 不能化成几个函数的乘积

若一个不定积分不能直接化成若干个函数的乘积或可以化成若干个函数的乘积但难以计算，则先观察它是否与某一个不定积分基本公式接近，若接近，则依此不定积分基本公式为目标去靠近从而求解。

如：求解不定积

解-

-

-+c

3.能化成几个因式的乘积但难以凑微分。

若一个不定积分既不能化成若干个函数的乘积或能化成若干个函数的乘积但是难以进行凑微分计算，又不与任何一个不定积分的基本公式接近，则可以先利用恒等变形方法进行转化，在根据转化的形式进行相应求解。

如：求解不定积

解。

2.分步积分法中的“凑微分”

分部积分法主要适用于被积函数是两个函数乘积形式的不定积分，分步积分法的关键步骤是配微分，即拆分选择不当会使题目求解越陷越繁琐，

例如如果，则，代入分步积分法公式于是，新得到的积反而比原积分更难以求解。如果则容易求解。遵循上面的两个原则，在实际教学中我们总结出一个比较实用的方法：对拆分成乘积的两个函数求导数，若函数类型发生变化则，没有发生变化则，全部没有发生变化则任选一个即可。而且总结一个口诀“三指动，反对不动”，即三角函数、指数函数可以，反三角函数、对数函数不能。如：求

指数函和三角函求导后仍为指数函数与三角函数，函数类型都没有发生变化，则可任选一个函数。

解法1：

：

将最后的式子中移项，再合并，然后可

所以

解法2=

将最后的式子中移项，再合并，然后可得

所以得到同样结

另外，针对某些被积函数只有一个的情况，可以看成其与常数的乘积。如：求解不定积，被积函可以看求导，类型有对数函数变成了幂函数形式，而1求导得0，仍为幂函数不变，因此=1

此方法对于“配微分”的选择来说是比较实用的，并且可以培养同学们的发散思维，但在一定方面亦有其局限性，对于某些题目，容易使同学们产生“歧途亡羊”之感。如求解不定积被积函求导，被积函求导，类型仍是幂函数和指数函数形式，因此应该任取一个即可，但通过下面的求解发现并不是如此。

解法（1）：

（陷入无限循环）。

解法（2）

（简单明了）。

为解决此缺陷，我们再给出一个选的简单方法：把被积函数视为两个函数之积，按“反、对、幂、指、三”的顺序，前者后者。如：求解不定积，分析：被积函可以看成幂函与三角函的乘积，按照“反、对、幂、指、三”的顺序取u，v′。其实，两种方法各有利弊，第一种方法拓展了学生的发散思维，但对于某些问题不能广泛使用，第二种方法虽然简洁、应用广泛，但是又限制了同学们发散思维的培养，因此我们在教学过程中应该相互结合，互为补充，这样才能既有效解决问题，又培养了学生们的思维能力。通过上面的方法，我们几乎可以把不定积分的基本求解形式化的确定下来，在一定程度上减轻了同学们的压力。对于不定积分的求解步骤、方法形式化的讨论，使学生领会到微积分的无穷魅力。

参考文献

1 张顺燕.数学的思想、方法和应用.北京大学出版社，2002.

2 范应元，安洪庆，孔雨佳.医用高等数学教学中人文推动的模糊综合评价.数理医药学杂志，2008，21（6）：760～761.

3 同济大学应用数学系.高等数学.第5版.高等教育出版社，2002.