多视角中反思，甄别通性通法

2016-11-14山东闫灵巧夏佑伟

高中数理化 2016年19期

关键词：通性二项式通法

◇　山东　闫灵巧　夏佑伟

(作者单位：山东省邹城市第一中学)

多视角中反思，甄别通性通法

◇山东闫灵巧夏佑伟

一题多解是启发和引导同学们从不同的视角出发,探索不同解题思路的一种解题活动,主要目的是培养和锻炼同学们的思维,探索适应一般情形的最优化的通性通法.

在本题的分析中部分同学认为数列{an}与{bn}的公共项由an=bn求得,即4n-1=3n+2,只有1项.但通过列举出2数列的前几项：

{an}: 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59,….

{bn}: 5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,44,47,….

可见,2个数列的公共项是11,23,35,47,…,易发现该数列是首项为11、公差为12的等差数列,则

cn=11+12(n-1)=12n-1.

对于上面的2个数列公共项问题,解题思路虽然自然简洁,但是作为解答题并不严谨,下面从多种视角对此题进行探究,并寻找简洁的通法.

1　选择一个数列,从整体上寻找问题突破口

设an=bm=ck,则ck=4n-1=3m+2.所以

an+1=4(n+1)-1=3m+2+4=3(m+2)∉{bn},

an+2=4(n+2)-1=3m+2+8=3(m+3)+1∉{bn},

an+3=4(n+3)-1=3m+2+12=3(m+4)+2=

bm+4∈{bn},

故ck+1=an+3,ck+1-ck=an+3-an=12,即{cn}构成公差为12的等差数列.又因为c1=a3=11,所以

cn=11+12(n-1)=12n-1.

反思1) 规范了解题步骤,再次巩固探究成果,还可将上面的解题程序推广到非等差问题的求解; 2) 本题采用直接将表达式和bn=3n+2相比较,可直接判断出该项属于数列{bn}中的某一项.当然也可以利用多元不定方程是否有整数解来判断是否为公共项; 3) 本题选择{an}进行讨论,只需讨论an+1、an+2、an+3这3项,便可找到公共项．若选择数列{bn},则需讨论bm+1、bm+2、bm+3、bm+4这4项.道理一想便知,公差越大,该数列中的公共项离得越近,因此尽量选择公差较大的数列讨论.这一原理不经亲身体验感悟不会深刻.

2　从多元不定方程视角,利用数的整除性求解

抓住数列的公共项等价于方程an=bm有解这一点,自然想到求解这个多元不定方程,这是本题的一个重要思路.

m+1=4k,k∈N*.

①

故m=4k-1,所以bm=b4k-1=3(4k-1)+2=12k-1,即cn=12n-1.

反思1)也可由式①得n=3k,a3k=4(3k)-1=12k-1，即cn=12n-1；2)等式4n-1=3m+2中的常数项恰好能凑成公差3或4,很容易想到提取公因式,如果不是这样呢?

对于数列{bn}来讲,其中b3,b10,b17,…都是{an}、{bn}的公共项,所以ck=b7k-4=2(7k-4)+7=14k-1(或者ck=a2k-1=7(2k-1)+6=14k-1).

可见,“利用多元不定方程有整数解”的方法处理2个等差数列的公共项也是一种通法.

3　从指数方程视角,利用二项式定理解方程

如果数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,那么方程an=bm就是一个含有指数的方程,在高中阶段和指数有关的整除问题还有二项式定理.显然利用二项式定理解不定方程也是一个不错的选择.

反思1上述问题中,由于等比数列{an}的项变化要比等差数列{bn}的快,数列{an}中的相邻的公共项之间距离只间隔1项,即ck=am,ck+1=am+2,而等差数列{bn}中的相邻的公共项之间的距离就相当远,假如bm=ck是第k个公共项,那么下一个公共项是b4m+2=ck+1,再次验证了2个等差数列公共项应该尽量在公差较大的数列中找ck与ck+1之间的关系.

此外,对于一个等比数列与一个等差数列的公共项问题,前面案例中所研究的解题方法同样适用.可以看出,变式训练不仅是一种巩固,更多的是让我们不断地加深对解题方法本质的认识.