居安思危　防患未然——教学楼紧急疏散问题研究

2016-11-14北京左婧怡

高中数理化 2016年19期

◇　北京　左婧怡

(作者单位：北京四中)

居安思危防患未然
——教学楼紧急疏散问题研究

◇北京左婧怡

学校的教学楼是一个人员相对集中的公共场所,学生人数多、密度大．突发事件如地震、火灾等是很难预料、避免的．在意外事件发生的时候,惊慌和恐惧会造成学生疏散的无序性,并导致产生拥挤和踩踏,进而造成严重的人员伤亡．那么如何做到科学有效地疏散?下面对此进行研究．

1问题展示

图1

以某校一座教学楼为例,平面图如图1,学生可以沿教室外的走廊一直走到尽头的出口．通过建立数学模型分析人员疏散所用最短时间．

2模型假设

为寻找较为合理的疏散撤离方案,先考虑较简单的情形,在简单模型基础上再作进一步改进．

1) 假设每班人数相同，每2间教室距离相等．

2) 假设疏散时人们是排成单队单列有序撤离．

3) 假设撤离人员间隔均匀且行进速度相同、不变．

4) 忽略队列中人体厚度．

5) 假设队列的密集程度与队列的速度相互独立．

3　模型建立

假设疏散撤离的队列中人与人之间的距离是常数,记为d(单位：m);队列行进的速度也是常数,记为v(单位：m·s-1)．设第i个教室中的人数为(ni+1)人(i=1,2,3,4),第i个教室门口到前一个教室的门口的距离为Li．根据假设,有n1=n2=n3=n4,L1=L2=L3=L4．设教室门的宽度为D．疏散时教室内第一个人到达教室门口所用的时间忽略不计．

在单行撤离的假设下,我们还应该考虑到人员可能重叠的情形,如当教室2的第1个撤离者到达教室1门口时,教室1内的人还没有疏散完毕．由于走廊宽度只允许一排队列通过,因此需要等到教室1撤空以后教室2的队伍再继续前进．现在假设第i个教室撤离人员在撤离过程中需要等待的时间是ti(i=1,2,3,4)．对于教室2的撤离人员来说,这种情况出现的条件是(n1+1)d/v>(L2+D)/v,即

(n1+1)d>L2+D.

①

教室2的最后一个人到达出口所用时间是

由此可以得到这2个教室内人员(单队单列)完全撤离出教学楼所用时间的数学模型为

类似的,可以给出4个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型:如果满足关系式(n1+1)d≤L2+D,则必满足(n2+1)d≤L3+D,(n3+1)d≤L4+D．

如果满足关系式(n1+1)d>L2+D,则必满足(n2+1)d>L3+D,(n3+1)d>L4+D.

那么,教室4的最后1个人到达出口所用时间是

由此可以得到4个教室内人员(单队单列)完全撤离出教学楼所用时间的数学模型为:

4　模型优化

这是一个T关于v、d的二元函数．运用二元函数求极值的方法可以证明一定存在一个适当的队列密集程度和队列行进速度,使得人员疏散所用的时间最短．当然,问题的具体结论还依赖于函数f(d)的具体形式,这是一个队列行进的数学模型问题,不再赘述．

5　模型引申

实际情况中,通常教室外的走廊都是允许多列队伍同时并行的．因此,如果在该模型中,教室外的走廊比较宽,可以容许2列队伍同时并行,以下给出该模型的建立.

该数学模型所设的量与上述模型对比增加的量:人体厚度w,行进速度v=f(d)．

首先,如果n、L、D3个量满足关系式(n+1)(d+w)≤L+D,易知最短的撤离时间是

当(n+1)(d+w)>L+D时,根据假设,撤离是有序的,那么假设他们的撤离路线是最易想到,也是最简单的,大致路线如图2中黑实线箭头所示.

图2

根据假设,各班人数n,过道长度L,以及各班撤离速度v均相同,那么当教室2撤离者到达A点时,教室3撤离者到达B点,同时教室4撤离者到达C点．由于(n+1)(d+w)>L+D,也就是说,为了不造成人群的混乱,教室3撤离人员到达B点后不能横穿过教室2的队伍,而需要在B点等待到教室1、2撤空后才能继续前进．而此时教室4前方C、D2点间还可以撤离．那么就牵涉到教室4撤离者到达D点后是否需要等待的问题．

教室4撤离者到达D点后需要等待的条件是