线性规划问题中慎用顶点代入比较法——由一道高考试题引出的思考

◇　江苏　魏美云

(作者单位：江苏省沛县湖西中学)



线性规划问题中慎用顶点代入比较法
——由一道高考试题引出的思考

◇江苏魏美云

图1

这是2016年高考江苏卷的第12题,考查的是线性规划、点到直线的距离等知识.对于线性规划问题,很多学生遇到此类题目不问青红皂白,一律将可行域的顶点代入比较大小求最值.本题中目标函数的最小值不在顶点处取得,但很多学生并不理解线性规划问题的解题依据,盲目机械地用顶点代入.虽然很多题目都是在顶点处取得最值,但也有不少题目最值并不在顶点处取得,甚至不在可行域的边界上取得.下面列举几种不适合用顶点代入法求解的例子,不求全面,只求抛砖引玉,引导学生积极主动地去理解线性规划的求解原理.

1　最值不一定在可行域的顶点处取得

(1) 求z=x2+(y-1)2+5的最大值和最小值;

图2

方法2因为kDC

特别需要注意的是最小距离不一定在可行域的顶点处取得,它有可能是定点到一条边界线的距离,如第(1)题结合图形很容易判断.但是第(2)题仅从图形难以判断DP的最小值是DC还是DH.此时可以求出垂足H的坐标,判断垂足H是否在可行域内;也可比较DC和DH的斜率,再结合图形来判断.

2　最值不一定在可行域的边界处取得

图3

3　可行域是无界区域时不适合用顶点代入法

图4

4　范围问题用顶点代入只能确定区间的端点

图5

图6

(作者单位：江苏省沛县湖西中学)