一类具群体防御状态及Holling III型功能反应的捕食系统正周期解的全局吸引性

刘昌东，江 如，柴华金

（广东海洋大学理学院，广东 湛江 524088）

一类具群体防御状态及Holling III型功能反应的捕食系统正周期解的全局吸引性

刘昌东，江 如，柴华金

（广东海洋大学理学院，广东 湛江 524088）

应用微分方程比较原理，重合度理论中的Mawhin's延拓定理和Lyapunov函数研究一类具有相互干扰和群体防御状态及Holling III型功能反应的捕食系统正周期解的存在性和全局吸引性。推广了有关文献的研究和结果。

功能反应模型；正周期解；Lyapunov函数；全局吸引性；Mawhin延拓定理

在自然界众多物种于同一生态环境中共存，它们之间必然相互影响，这是一种自然界的普遍现象.为描述和研究生物间的这种现象，数学生态学者建立了种类多样的数学生态微分模型.1971年Hassell在观察研究两个物种的行为特征时，提出了一个同时考虑到密度制约，功能性反应和相互干扰时捕食者和被捕食者之间竞争的一般微分模型［1］

其中x（t），y（t）分别表示被捕食和捕食种群在时刻t的密度，g（x）是食饵种群在没有捕食者存在时的增长率，m（0＜m＜1）为相互干扰常数，p（x）为捕食者的功能性反应函数（捕食者的捕食率）.近年来，这一模型的一些特殊的时变形式被广泛研究，如文献［2-7］。

朱和王［2］研究了一类互相干扰和具有Holling II型功能性反应模型

王和杜等［4］，吕和杜［5］研究了一类具有相互干扰和Holling III型功能性反应的Lotka-Volterra模型

并且都获得上述两类模型正周期解的存在性和全局吸引性的充分条件。

本文研究一类更一般的具有相互干扰和在群体防御状态下的Holling III型功能性反应模型［8］

初始值

其中x（t），y（t）表示被捕食种群和捕食种群在时刻t的密度，ai（t），bi（t）和ri（t）（i=1，2）及 di（t）（i=1，2）均定义在［0，+∞）上的正-ω周期连续函数，0＜m＜1为干扰系数，其余详细的生态意义见文献［1-8］。本研究获得该系统的解的最终有界性，正周期解的存在性和全局吸引性的充分条件，推广了文献［2，4-5］的研究。

为研究方便，我们引入下面记号：对于［0，+∞）上的连续函数f（t），记

显然系统式（2）包含了系统式（1）作为特例，故本研究推广了文献［4-5］的研究。

1 解的有界性

设f（t）在［0，+∞）上连续，则不难证明初值问题

的解x（t）＞0在［0，+∞）上恒成立。

据此，对系统式（2）积分可知，系统式（2）满足初值式（3）的解（x（t），y（t））T存在且均为正解，即当

引理1.1 设x（t）是初值问题

或

由比较原理得

或

故存在T1＞0，当t＞T1时，

证毕。

引理1.2 设p＞0，q＞0为常数，x（t）是初值问题

或

的解，则存在T2＞0，当t＞T2时，

证明 用证明引理1.1的方法可得。

下面用引理1.1和引理1.2证明系统式（2）的解最终有界性。

定理1.1 设（x（t），y（t））T是系统式（2）满足初值式（3）的解，则存在正常数Ki，Li（i=1，2）和T＞0，当t＞T时有

这里Li，Ki（i=1，2）在下面证明中给出。

证明 由式（2）的第1个方程得

根据引理1.1，存在T1＞0，当t＞T1时

由式（2）的第2个方程得

根据引理1.2，存在T2＞T1，当t＞T2时

再由式（2）第1个方程得

根据引理1.1，存在T3＞T2，当t＞T3时

接着由式（2）的第2个方程得

根据引理1.2，存在T4＞T3，当t＞T4时，有

综合式（4），（5），（6）和式（7）知，存在T＞T4，当t＞T时，有

而且Ki，Li（i=1，2）均与系统式（2）的任何解无关，仅由系统的系数决定。证毕。

2 周期解的存在性

先引入Mawhin延拓定理。

定义2.1［9］设X和Y是两个Banach空间，

是一个线性映射，如果满足条件：（i）ImL是Y的闭子空间；，则称L是指标为零的Fredholm算子。

设L是指标为零的Fredholm算子，则存在线性投影算子

满足

并且

映射

是可逆映射，其逆记为KP，则

定义2.2［9］设

是指标为零的Fredholm算子，Ω⊂X是任一开集，N：X →Y是一个连续映射。如果QN（）在Y中是有界的，而且是X的相对紧集，则称N在Ω上是L—紧的。

引理2.1［9］设X和Y都是Banach空间，是一个零指标的Fredholm算子，Ω⊂X是一个有界开集，上是L—紧的。如果下面条件都满足：

考虑系统

设

则

代入式（8）得

由式（10）第1式得

所以

由式（10）的第2式得

由式（13）的第1式得

于是有

又由式（13）的第2式得

于是有

综合式（11），（12），（14）和式（15）可知，对任何t∈［0，］ω，都有

取

则有

证毕。

如果（u，v）T是系统式（9）的一个常向量解，则有

对上面两式分别在［0，］ω上积分，并根据第二积分中值定理得

考虑代数方程组

其中μ∈［0，1］是一个参数。有下面引理。

证明 由式（18）第1式得

由式（18）第2式得

又因式（18）的第1式得

再由式（18）第2式得

若v≥0，则取0为v的一个下界；

综合式（19），（20），（21）和式（22）得

证毕。

定理2.1 系统式（2）至少存在一个正ω-周期解。

令

并赋予范数

于是有

并可求得

所以根据Lebesgue控制收敛定理易证QN和KP（I-Q）N均为连续的。设任一有界开集Ω⊂X，因在是有界的，所以与都在［0，ω］一致有界且等度连续。根据Arzela-Ascoli定理可知及均为紧致集，因此N在上是L—紧的。特别地，令，我们选取，其中S1，S2由引理2.2及引理2.3的证明式（16-17）、（23-24）所定义，这样N在上是L—紧的。下面我们验证引理

2.1（Mawhin'延拓定理）的全部条件。

（i）对于每个

否则，z（t）是系统式（9）的一个正ω-周期解.由引理2.2知，但 z（t）∈∂ΩI DomL，从而有，矛盾。

（iii）选择J:ImQ→KerL，对每个z（t）∈ImQ，使得Jz=z，于是对每个都是一个常向量，并且

考虑代数方程组

为方便我们引入记号

至此，我们验证了Mawhin的重合度定理的全部条件都满足，因此系统（3.1）至少有一个正 周期解，从而证明系统式（2）至少有一个正ω-周期解。证毕。

3 系统的全局吸引性

则有

为方便我们引入记号

于是有下面的全局吸引性定理。

定理3.1 如果系统式（2）满足下列条件：

则系统式（2）有且仅有一个正ω-周期解，并且是全局吸引的。

其中

因为

由微分中值定理知

据此，当α＜1时，

当α＞1时，

于是由式（31）和式（34）得

故综合式（35）和式（36）得

（t＞T＞0，其中T与定理2.1同）。

对上式从T到t积分得

文献［4］，［5］在证明系统的正周期解全局吸引性时，只对其它初值的周期解证明了是吸引的，而没有见到证明对系统的任意正解是吸引的。本研究证明了这一结果。

［1］陈兰荪.数学生态学模型与研究方法［M］.北京：科学出版社，1998.

［2］ ZHU Y L，WANG K.Existence and global attractivity of positive periodic solution for a predator-prey model with modified Leslie-GowerHolling-type II schemes［J］.Jourmal of mathemtical analysis and applications，2011，384（2）：400-408.

［3］ 黄玉梅.具Holling II类功能反应的时滞扩散模型的全局稳定性［J］.生物数学学报，2006，21（3）：370-376.

［4］ WANG X L，DU Z J，LIANG J.Existence and global attractivity of positive periodic solution to a lotkavolterra model［J］.Nonlinear analysis:real world applications，2010，11（5）:4054-4061.

［5］ LÜ Y S，DU Z J.Existence and global attractivity of a positive periodic solution to a lotka-volterra model with mutual interference and holling III type functional response［J］.Nonlinear analysis:real world applications，2011，12（6）:3 654-3 664.

［6］朱晶.有毒物影响和Beddington-DeAngelis型功能反应的捕食系统的全局吸引性［J］.生物数学学报，2013，28（4）:716-724.

［7］ WANG K，ZHU Y L.Global attractivity of positive periodic solution for a Volterra model［J］.Appl Math Comput，2008，203（2）:493-501.

［8］陈兰荪，陈键.非线性生物动力系统［M］.北京：科学出版社，1993.

［9］ GAINES R E，MAWHIN J L.Coincidence degree and nonlinear differential equations［M］.Berlin:spring-verlag，1977.

［10］ GOPULASAMY K.Stability and oscillations in delay differentialequations ofpopulation dynamics［M］.Dordrecht：kluwer academic publishers，1992.

（责任编辑：任万森）

GlobalAttractivity of Positive Periodic Solution to a Predator-prey System with Group Defense and HollingⅠⅠⅠType Functional Response

LIU Chang-dong，JIANG Ru，CHAI Hua-jin
（College of Science，Guangdong Ocean University，Zhanjiang 524088，China）

By using the comparison principle of differential equation，Mawhin's continuation theorem of coincidence degree theory and Lyapunov functional，a predator-prey system with mutual interference，group defense and Holling III type functional response is studied.Some results acquired in recent literatures are improved.

Functional response model；Positive periodic solutions；Lyapunov functional；Global attrativity；Mawhin's coincidence theorem

O175.1

A

1673-9159（2016）03-0089-09

10.3969/j.issn.1673-9159.2016.03.015

2016-03-01

刘昌东（1956—），男，副教授，主要研究方向为微分方程稳定性理论，Email：jiru1995@163.com