分层广义线性模型在准备金评估中的建模研究

闫春 李延星 陈祥辉 邱艺伟

摘 要 考虑到赔付流量三角形数据同一事故年反复观测的纵向特征以及数据结构的层次性，建立了分层广义线性模型.与通常的随机模型相比，分层广义线性模型不但可以选择条件反应变量的分布而且风险参数分布范围也更加广泛.利用h-似然函数估计分层广义线性模型的模型参数，降低了计算量.为使模型具有可比性，评估模型的预测精度，推导了模型预测误差的估计式.为充分利用已知赔付信息，将赔付额和赔付次数两种赔付信息纳入未决赔款准备金评估模型，建立了两阶段分层广义线性模型.在线性预测量中考虑了各种固定效应和随机效应以及模型结构的散布参数，改进了线性预估量结构.研究表明：分层广义线性模型对于数据的各种分布及形式都具有很好的适应性，更加符合保险实务现实的赔付规律.

关键词 保险数学；分层广义线性模型；h-似然函数；预测误差

中图分类号 F840.65 文献标识码 A

Abstract By considering the longitudinal characteristics of repeated measurements over time of loss for a given accident year in the loss runoff triangles and regarding the loss runoff triangles as hierarchical data， this paper established a hierarchical generalized linear model. Compared with the usual stochastic model， the hierarchical generalized linear model can choose the distribution of conditional response variables and the distribution of risk parameters is more extensive. Using the h-likelihood function to estimate the model parameters of the hierarchical generalized linear model， the calculation amount was reduced. In order to make the model to be comparable， the prediction accuracy of the model was evaluated， and the estimation formula of the model prediction error was derived. In order to make full use of the known payment information， a two-stage hierarchical generalized linear model was established to consider two payment information -the number of compensation and the amount of compensation. The linear prediction considers the distribution parameters of fixed effects， random effects and the distribution parameters of the model structure. The research shows that the hierarchical generalized linear model has good adaptability to all kinds of distribution and form of the data， and it is more consistent with the real payment rule in the insurance practice.

Key words insurance mathematics； hierarchical generalized linear model； h-likelihood function； prediction error

1 引 言

未决赔款准备金的评估方法是非寿险精算的重要组成部分，其评估模型的理论与实践正在经历着巨大的变革.为维护保险行业的健康发展，保监会规定了保险实务中常用的几种评估未决赔款准备金的确定性方法.但赔款额本质上是一个随机变量，确定性评估方法只能基于历史数据对未决赔款准备金进行点估计，无法得到估计误差及波动程度.在全球经济市场环境不稳定、巨额索赔风险频繁发生的情况下，引入可靠性强、能够度量准备金波动性以及模拟准备金预测分布的随机模型显得尤为重要.为了实施新的会计准则，保监会财务会计部在2010年1月举办了关于非寿险未决赔款责任准备金评估方法的系列培训，新出台的保险合同相关会计处理规定鼓励财险公司采用随机性模型与方法（如Mack模型、GLM模型、Bootstrap方法等） 评估未决赔款准备金.

但是随机性模型并非完美无瑕，仍有不少亟需完善的问题.即使经典的广义线性模型（Generalized Linear Models，GLM）仍存在不少缺陷，如对于在某些水平上数据量很少的分类解释变量GLM参数估计的标准误差会很大.对于相互独立且具有层次性结构的数据，若直接应用GLM会产生过多的待估参数.此外，GLM线性预估量仅仅包含固定效应，忽略了不同事故年赔付数据之间的异质性以及相同事故年不同进展年间赔付数据的相关性.为了克服了GLM的缺陷，有些学者引入了广义线性混合模型（Generalized Linear Mixed Models， GLMM），该模型在线性预测部分引入了随机效应，不仅考虑了不同事故年间的互异性，还反映了同一事故年不同进展年赔付数据由于共同纵向特征而产生的组内数据的相关性.近年来GLMM在精算中的应用越来越受到国内外学者的重视，如Kelvin（2003）[1]等对索赔频率分别使用GLM和GLMM建模，通过对比分析指出了GLMM的优势.Antonio和 Beirlant（ 2008）[2]基于GLMM 的半参数回归模型结合贝叶斯方法模拟了索赔准备金的预测分布.Klinker（2011） [3]进一步研究了GLMM在Buhlmann-Straub信度模型理论上的应用.谢远涛和杨娟（2014）[4]基于操作时间来重新设计流量三角形，并利用GLMM评估准备金.刘新红和孟生旺（2014）[5]对增量已决赔款建立GAMLSS模型，并将此模型应用于一组具有明显异方差的车险数据，证明拟合效果优于均值回归模型.

然而GLMM的主要缺点是随机效应必须服从正态分布，且随机效应项的引入使得边际似然函数的计算更加复杂，往往需要高阶微积分运算，算法实现具有局限性.针对GLMM的缺陷，学者们进一步将模型推广为随机效应服从指数类分布族的分层广义线性模型（Hierarchical Generalized Linear Models，HGLM）.该模型的基本思想在于模型的某些参数本身需要建模，分层模型中固定效应为通过样本数据直接估计的模型参数，随机效应则是通过模型的超参数间接估计的模型参数.GLM等随机评估方法大多没有体现赔付数据随事故年反复观测的纵向特征，而HGLM作为处理纵向数据的一种自然方式，将赔付流量三角形视作分层数据，以每个事故年相应的赔付数据为一个“目标”来评估索赔准备金.近年来有关广义线性分层模型的研究不断涌现，1996年Y. Lee和J.A.Nelder[6]首次提出了HGLM的概念，并于2006[7]年对HGLM进一步推广给出了双广义线性分层模型.

随后Y. Lee和M. Noh于2012[8]年又给出了双广义线性分层模型的随机效应方差.Payne R W（2014）[9]回顾了广义非线性模型及算法，依据HGLM相关理论确定了分层广义非线性模型.HGLM通过h-似然函数来估计模型参数，它是反应变量和风险参数联合密度函数的对数.目前国内关于分层模型的研究刚刚起步，其中张连增、段白鸽[9]（2013）依据损失进展模型LDF模型、Cape Cod模型以及Clark（2003） [10] 提出的两种体现损失进展过程的非线性增长曲线——Loglogistic增长曲线和Weibull增长曲线建立了非线性分层模型，后来又将其与贝叶斯理论相融合建立了贝叶斯非线性分层模型（2013）[11]，并做了分层模型在非寿险精算学中应用的研究评述（2013）[12]，指出了HGLM评估准备金的研究前景.除此之外，非寿险领域中尚未见更一般意义下的HGLM理论及应用研究.

HGLM不但可以处理具有相关性的纵向数据、空间聚类数据、甚至更宽泛的聚类数据，为不满足独立性假设且具有层次结构的非寿险赔付数据提供了处理“大规模分类”问题的一种自然方式，而且HGLM能提供统一的贝叶斯信度建模框架，种种优势注定了HGLM技术成为当前国际非寿险精算理论研究的热点领域.随着国内财险公司对GLM在非寿险精算中的应用，相信经过一段时间的实践探索，国内财险公司必然会迫切需要对更合适准备金评估和非寿险定价的HGLM应用研究.鉴于此，建立了分层广义线性模型，利用h-似然函数估计分层广义线性模型的模型参数，降低了计算量.通过推导模型预测误差的估计式来评估模型的预测精度.利用赔付额和赔付次数两种赔付信息建立了未决赔款准备金评估的两阶段分层广义线性模型，并改进了模型的线性预估量使之更加符合真实的赔付规律.提出的未决赔款准备金评估的HGLM，理论上有助于完善未决赔款准备金评估的建模理论和方法，改进模型稳定性、适用范围及预测能力，丰富未决赔款准备金评估领域内的研究内容.在实际应用价值方面，提出的这一改进模型为精算人员提供构建评估模型的新思路与方法，无论对保险公司还是保险监管部门都将提供理论支持和实务参考.

5 未决赔款准备金评估的

两阶段分层广义线性模型

有了模型的基本结构、参数估计方法以及预测误差，就可以建立未决赔款准备金的评估模型.通常的未决赔款准备金评估模型，往往直接对各单元的累计赔付总额的分布进行假设，并对累计赔付额进行参数估计，忽略了索赔次数和案均赔款等重要数据信息.因此，试图建立一个两阶段分层广义线性模型，该模型分别对索赔次数与案均赔款构造分层广义线性模型，更符合非寿险未决赔款准备金评估的实际需求.此外，改进了模型的线性预估量，使之不但符合随进展年的推延先按幂升再按指数降的赔付规律，而且减少了待估计参数得的个数.

6 结 论

在分层广义线性模型的全新视角下建立了未决赔款准备金的评估模型，鉴于流量三角形层次性和相关性的数据结构，在线性预测量中考虑了固定效应和随机效应，并且拓展了风险参数的分布范围.利用h-似然函数估计分层广义线性模型的模型参数，减少了估计过程的计算量.利用参数误差与过程误差的和作为均方误差来评估模型的预测精度，使得模型的精确程度具有可比性.此外，将赔付额和赔付次数两种赔付信息纳入评估模型，建立了两阶段分层广义线性模型，在线性预测量中考虑了各种固定效应和随机效应以及模型结构的散布参数，改进了线性预估量结构，并充分利用了已知赔付信息，这使得分层广义线性模型能够更好的适应各类数据的结构与形式，具有更高的灵活性，在保险实务中可以处理各种赔付规律的案件，较之传统的广义线性模型具有更高的实用性.

参考文献

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