函数y=Asin（ωx+φ）的图像及性质

安徽省太和中学　岳　峻

函数y=Asin（ωx+φ）的图像及性质

安徽省太和中学岳峻

函数y=Asin（ωx+φ）的图像问题有三种类型：描点画图（五点法）、图像变换法（平移、伸缩、对称）及图像应用，特别是图像的平移与伸缩变换，是高考常见的题型。由于三角函数的性质蕴含在其图像中，我们在学习时须充分运用数形结合的思想，正确地读图、识图、析图、用图，把图像和性质结合起来，并会灵活运用。

一、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的物理意义

例1函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图像如右图所示，则函数f（x）的解析式为________。解析由图像知f（x）的最小正周期为

二、三角函数的图像变换

三、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调性

点评此类问题属易错题。正确解法是借助诱导公式转化后求解，或利用复合函数的单调性规律求解。

四、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的对称性

（2）f（x）=sin（3x-π）+1的图像如右图所示。

五、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的奇偶性

例5求函数f（x）=sin（x-θ）（θ为参数）的奇偶性。

解析令f（-x）=f（x），则sin（-x-θ）=sin（x-θ），

此时-x-θ=2kπ+x-θ（k∈Z）或-x-θ=2kπ+π-（x-θ）（k∈Z），

同理，当θ=kπ（k∈Z）时，函数（fx）=sin（x-θ）（θ为参数）是奇函数。

当θ=kπ（k∈Z）时，函数（fx）=sin（x-θ）（θ为参数）是奇函数；

点评f（x）是偶函数⇔f（-x）=f（x）；f（x）是奇函数⇔f（-x）=-f（x）。探讨含有参数的函数的奇偶性可以利用该性质。

六、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期性

解析结合函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像特征可知，

七、函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最值

例7已知函数f（x）=sinx。若存在x1，x2，…，xm（m≥2，m∈N*）满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|=12，则m的最小值为________。

解析因为对任意的xi，xi+1（i=1，2，…，m-1），|f（xi）-f（xi+1）|≤f（x）max-f（x）min=2，

欲使m取最小值，应尽可能多地让xi（i=1，2，…，m）取最值点。

因为0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，

|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（xm-1）-f（xm）|=12，

所以按照下图所示取值即可满足条件。

所以m的最小值为8。

点评一般来说，函数f（x）=asinx+b的值域为［-|a|+b，|a|+b］，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0）的最小值为-A+b，最大值为A+b。