概率的定义与发展史

王晓华

初中阶段我们学习的概率内容比较基础，到了高中和大学阶段，概率内容将进一步丰富和深化，为了让同学们对概率知识板块有个全面的了解，下面就概率的定义和发展史作一个简单的介绍.

概率论起源于17世纪中叶，但是它的严格化却是在20世纪完成的.在几百年的时间里，人们对概率意义的认识不断深化，下面几个定义就反映了这种认识的发展.

1.古典定义

古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老.在数学史上，概率源于赌博.概率论的创立正是从研究赌博等问题入手，建立相关的数学模型，并从中逐步抽象出有关概率的一些初始概念.

17 世纪有个叫保罗的人，一天他与梅累两个人一起赌钱，赌注是每人拿出6枚金币，通过掷骰子，先胜三局者得到12枚金币.刚赌完三局时，赌博因故不能进行，此时保罗胜一局，精通赌博的梅累胜了两局.因此，他们对赌注如何分配产生了争吵.保罗认为，根据胜的局数，他应得总数的[13]，即4枚金币，梅累得总数的[23]，即8枚金币.可是梅累却不这样想.于是他们一起去请教法国数学家帕斯卡.

“赌金分配”问题在几年里一直困扰着帕斯卡.经过反复研究，1654年帕斯卡终于取得了令人满意的答案，于是他写信把自己的心得告诉了好友（法国数学家费马），从此一场更深入的讨论在两人之间展开了.荷兰数学家惠更斯也对他们研究的问题很感兴趣，他潜心研究，于1657年出版了《论赌博中的计算》，该书塑造了概率论的雏形.

帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做出了重大的贡献.但直到1812年，法国数学家拉普拉斯才在《概率的分析理论》中给出了概率的古典定义：如果试验的全部可能结果只有n（有限数）个，每个结果发生的可能性大小相等，其中 m个结果发生时必然导致事件A发生，那么分数[mn]叫做事件 A 发生的概率，记作P（A）=[mn].古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法.

2 .几何定义

概率的几何定义提供了某种特殊类型的随机试验：试验的一切可能结果是无限的且等可能的情形.1777 年，法国数学家布丰发表了《或然性算术试验》，首先提出并且解决了著名的“布丰投针问题”，开始了几何概率的早期研究，形成概率的几何定义.

试验如下：事先准备一组相距为l的平行线，一根长为[l2]的针，将针随机地投到画了线的平面上，假如针与平行线相交，则称“扔出有利”.这样随机投若干次，此时令人惊奇的结果出现了，“扔出有利”的概率为[1π]，如果反复进行的次数越多，得到的[π]的值越精确.在数学发展的过程中，圆周率的计算有着举足轻重的地位，它曾经是体现一个国家数学发展水平的重要标志.而概率知识可以计算圆周率，对我们心灵是一个不小的震撼.此实验拓宽了人们运用数学知识解决复杂问题的渠道，它已发展为一种新的数学方法——统计实验法，也就是著名的蒙特卡罗法.

3.统计定义

概率的古典定义和几何定义都要求在随机实验中基本事件发生的可能性相等，但人们发现在相同的条件下做大量重复试验，一个事件发生的次数和总的试验次数N之比，在试验次数N很大时，它的值将稳定在一个常数附近.N越大，这个比值“远离”这个常数的可能性越小，这个常数就称为这个事件的概率.这个定义与统计有密切的关系，它建立在频率稳定性的基础上，所以称为概率的统计定义.这种概率讨论的对象不再限于随机试验所有可能的结果为等可能的情形，因而更具一般性.1919年德国数学家冯·米塞斯在《概率论基础研究》一书中提出了此定义：在相同的条件下，做大量重复试验，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率.

3.公理化定义

概率的前三种定义属于“描述性”定义，在叙述中都用了“可能性”一词， 而概率恰是关于“可能性”的概念，所以这些定义从理论上看是不严格的，有循环定义之嫌.由于缺乏严格的理论基础，常常被人找到一些可钻的空子，其中最为典型的要算1889年法国数学家贝特兰提出的概率悖论：在半径为1的圆上随机地取一条弦，问所取的弦其长超过圆内接等边三角形边长的概率是多少？

这个提问者给出了三个不同的答案，产生的根本原因是三种解法所作的等可能假设是不同的，所对应的样本空间是不同的，它们是三个不同的随机试验. 因此，在样本点为无限的情况下，必须对样本空间及样本点作具体限定，概率的公理化定义由此应运而生.

1900年，38岁的希尔伯特在世界数学家大会上提出了建立概率公理系统的问题，这就是著名的“希尔伯特的23个问题”中的第6个问题，从而引导了一批数学家投入这方面的工作.在概率公理化的研究道路上，苏联数学家柯尔莫哥洛夫的成绩最为显著，1933年他在《概率论基础》中，运用集合论和测度论表示概率论的方法赋予了概率论以严密性.当然理解这个定义，需要一定的预备知识，故此处不再赘述.公理化定义作为一个数学平台，让人们在此基础上进行演绎，得到系统的概率论知识体系.这个定义的产生是概率论发展史上的一座里程碑.

总之，“概率”概念的建构，经历了古典概率、几何概率、统计定义再到公理化定义，体现了概率定义“从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象”的逐步变化，反映了人们对概率的认识所经历的过程.各种定义产生的过程，也体现了人类认识随机现象所走过的艰难曲折的道路，折射着概率发展的不同阶段和水平，渗透着丰富的数学化、模型化思想方法，蕴含了深刻的辩证哲理.

（作者单位：江苏省无锡市新安中学）