2016高考数学全国甲卷(Ⅱ卷)压轴题的解法分析

吕　鹏

重庆市朝阳中学　(400700)



2016高考数学全国甲卷(Ⅱ卷)压轴题的解法分析

吕鹏

重庆市朝阳中学(400700)

2016高考数学全国甲卷(Ⅱ卷)压轴题(第21题)为：

这是一道函数与导数、不等式结合的综合题型，题目简洁，直面问题，既能很好的考查考生的基础知识，又具有很好的区分度. 题目的解法可从多角度展开，能很好的体现高中数学新课程的理念.

一、第(Ⅰ)问的解法分析

第(Ⅰ)问分为两部分，先求单调性，然后证明，对于后半部分的证明，可根据前半部分的结构特征，利用单调性而得.也可通过构造函数单独证明.具体过程如下：

(-∞,-2)和(-2,+∞)时，f(x)单调递增.下面证明：当x>0时，(x-2)ex+x+2>0.

证法2：令I(x)=(x-2)ex+x+2，I′(x)=(x-1)ex+1，I″(x)=xex>0，故I′(x)单调递增.当x>0时，I′(x)>I′(0)=0，从而I(x)单调递增，I(x)>I(0)=0，即(x-2)ex+x+2>0.

评析：本小问前半部分考查通过导数判断函数的单调性，导数的运算法则，其中导数大于等于零，考生容易误认为大于零，单调区间的表示很多考生容易误写成“(-∞,-2)∪(2,+∞)”.看似简单，实则对学生基础知识的掌握程度要求较高.

二、第(Ⅱ)问的解法分析

评析：解法2与解法1的区别在于两方面，一方面对g′(x)的处理较常规，即判断分子的符号，若判断不易，则继续求导，直至易判断为止.另一方面是通过a的范围结合单调性求得xa的范围，这样求得的值域与a的范围是对应的.另外，解法1，解法2都是直接求g(x)的最小值，将x视为主元，事实上本题中，有两个变量x和a，求最小值不妨将a视为主元，会收到意想不到的效果，由此，可得下面解法.

三、解法3的再思考

如图1，当a在[0,1)之间变化时，g(x)的图像

图1

多元问题，我们平时要敢于突破传统思维定式，视不同的未知数为主元.另一方面，要自觉进行相关思维训练，扩展思维角度.特别要学会在事物对立面的统一中转换思维，多方位的思考数学问题，才能有效地提高解题能力.